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庫默爾公式

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庫默爾第一公式是

_2F_1(1/2+m-k,-n;2m+1;1)=(Gamma(2m+1)Gamma(m+1/2+k+n))/(Gamma(m+1/2+k)Gamma(2m+1+n)),
(1)

其中 _2F_1(a,b;c;z) 是超幾何函式，其中 m!=-1/2, -1, -3/2, ..., 並且 Gamma(z) 是伽瑪函式。這個恆等式可以寫成更對稱的形式為

_2F_1(a,b;c;-1)=(Gamma(1/2b+1)Gamma(b-a+1))/(Gamma(b+1)Gamma(1/2b-a+1)),
(2)

其中 a-b+c=1 且 b 是正整數 (Bailey 1935, p. 35; Petkovšek et al. 1996; Koepf 1998, p. 32; Hardy 1999, p. 106)。如果 b 是負整數，則恆等式變為

_2F_1(a,b;c;-1)=2cos(1/2pib)(Gamma(|b|)Gamma(b-a+1))/(Gamma(1/2b-a+1))
(3)

(Petkovšek et al. 1996)。

庫默爾第二公式是

M_(0,m)(z)=z^(m+1/2)e^(-z/2)_1F_1(1/2+m;2m+1;z)
(4)
=z^(m+1/2)[1+sum_(k=1)^(infty)(z^(2k))/(2^(4k)k!(m+1)_k)]
(5)
=4^msqrt(z)I_m(1/2z)Gamma(m+1),
(6)

其中 M_(0,m)(z) 是惠特克函式，_1F_1(a;b;z) 是第一類合流超幾何函式，(a)_n 是波赫哈默符號，I_n(z) 是第一類修正貝塞爾函式，以及 m!=-1/2, -1, -3/2, ....

另請參閱

第一類合流超幾何函式, 超幾何函式

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參考文獻

Bailey, W. N. 廣義超幾何級數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.Hardy, G. H. 拉馬努金：關於其生平和工作啟發的課題的十二講，第三版。 New York: Chelsea, 1999.Koepf, W. 超幾何求和：求和與特殊函式恆等式的演算法方法。 Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 42-43 and 126, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

在 中被引用

庫默爾公式

請引用為

Weisstein, Eric W. "庫默爾公式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/KummersFormulas.html

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