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TagBox[E, MathPlain]_n 函式

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ExpIntegralE

The E_n(x) 函式由以下積分定義

E_n(x)=int_1^infty(e^(-xt)dt)/(t^n)
(1)

並由 Wolfram Language 函式給出ExpIntegralE[n, x]. 定義 t=eta^(-1) 使得 dt=-eta^(-2)deta,

E_n(x)=int_0^1e^(-x/eta)eta^(n-2)deta
(2)

對於整數 n>1,

E_n(0)=1/(n-1).
(3)
EnFunctionReIm
EnFunctionContours

上面顯示了 在複平面中的影像。

特殊情況 n=1 給出

E_1(x)=-Ei(-x)
(4)
=Gamma(0,x)
(5)
=int_1^infty(e^(-tx)dt)/t
(6)
=int_x^infty(e^(-u)du)/u,
(7)

其中 Ei(x) 是指數積分，Gamma(a,z) 是不完全伽瑪函式。 它也等於

E_1(x)=-gamma-lnx-sum_(n=1)^infty((-1)^nx^n)/(n!n),
(8)

其中 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數。

E_1(0)=infty
(9)
E_1(ix)=-ci(x)+isi(x),
(10)

其中 ci(x) 和 si(x) 是餘弦積分和正弦積分。

該函式滿足以下遞推關係

E_n^'(x)=-E_(n-1)(x)
(11)
nE_(n+1)(x)=e^(-x)-xE_n(x).
(12)

一般來說，E_(n+1)(x) 可以從以下遞推關係構建

E_n(x)=1/((n-1)!)[(-x)^(n-1)E_1(x)+e^(-x)sum_(s=0)^(n-2)(n-s-2)!(-x)^s].
(13)

級數展開式由下式給出

E_n(x)=x^(n-1)Gamma(1-n)+[-1/(1-n)+x/(2-n)-(x^2)/(2(3-n))+(x^3)/(6(4-n))-...]
(14)

漸近展開式由下式給出

E_n(x)=(e^(-x))/x[1-n/x+(n(n+1))/(x^2)+...].
(15)

另請參閱

餘弦積分, Et 函式, 指數積分, Gompertz 常數, 正弦積分

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralE/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (編). "指數積分和相關函式。" 第 5 章，數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第9次印刷。 New York: Dover, pp. 227-233, 1972.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "指數積分。" §6.3 in FORTRAN 數值方法：科學計算的藝術，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 215-219, 1992.Spanier, J. and Oldham, K. B. "指數積分 Ei(x) 和相關函式。" 第 37 章，函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 351-360, 1987.

請引用為

Weisstein, Eric W. "TagBox[E, MathPlain]_n 函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/En-Function.html

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