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餘弦積分

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CosIntegral
CosIntReIm
CosIntContours

餘弦積分最常見的形式是

Ci(x)=-int_x^infty(costdt)/t
(1)
=gamma+lnx+int_0^x(cost-1)/tdt
(2)
=1/2[Ei(ix)+Ei(-ix)]
(3)
=-1/2[E_1(ix)+E_1(-ix)],
(4)

其中 Ei(x) 是指數積分， E_n(x) 是En-函式，以及 gamma 是尤拉-馬歇羅尼常數。

Ci(x) 由 Wolfram 語言 命令返回CosIntegral[x]，並且也常被表示為 ci(x)。

Ci(x) 具有級數展開

Ci(x)=gamma+lnx+sum_(k=1)^infty((-x^2)^k)/(2k(2k)!)
(5)

(Havil 2003, p. 106; 在定義中插入負號之後)。

導數是

d/(dz)Ci(z)=(cosz)/z,
(6)

並且積分是

intCi(z)dz=zCi(z)-sinz.
(7)

Ci(x) 在 0.616505, 3.38418, 6.42705, ... 處有零點。極值發生在當

Ci^'(x)=(cosx)/x=0,
(8)

或 cosx=0，或 pi/2, 3pi/2, 5pi/2, ... 時，這些點交替為極大值和極小值。在這些點，Ci(x) 等於 0.472001, -0.198408, 0.123772, ...。拐點發生在當

Ci^('')(x)=-(cosx)/(x^2)-(sinx)/x=0,
(9)

其簡化為

1+xtanx=0,
(10)

其解為 2.79839, 6.12125, 9.31787, ...。

相關的函式

Cin(x)=int_0^z((1-cost)dt)/t
(11)
=-ci(x)+lnx+gamma
(12)

有時也被定義。

要找到餘弦函式積分冪的閉合形式，使用分部積分法得到

I=intcos^mxdx
(13)
=(sinxcos^(m-1)x)/m+(m-1)/mintcos^(m-2)xdx.
(14)

現在，如果 m 是偶數，因此 m=2n，則

intcos^(2n)xdx=sinxsum_(k=1)^(n)((2k-2)!!)/((2n)!!)((2n-1)!!)/((2k-1)!!)cos^(2k-1)x+((2n-1)!!)/((2n)!!)x
(15)
=((2n-1)!!)/((2n)!!)[sinxsum_(k=0)^(n-1)((2k)!!)/((2k+1)!!)cos^(2k+1)x+x].
(16)

另一方面，如果 m 是奇數，因此 m=2n+1，則

intcos^(2n+1)xdx=sinxsum_(k=0)^n((2n-2k-1)!!)/((2n+1)!!)((2n)!!)/((2n-2k)!!)cos^(2n-2k)x.
(17)

現在令 k^'=n-k,

intcos^(2n)xdx=((2n)!!)/((2n+1)!!)sinxsum_(k=0)^n((2k-1)!!)/((2k)!!)cos^(2k)x.
(18)

那麼一般結果是

intcos^mxdx={((2n-1)!!)/((2n)!!)[sinxsum_(k=0)^(n-1)((2k)!!)/((2k+1)!!)cos^(2k+1)x+x] for m=2n; ((2n)!!)/((2n+1)!!)sinxsum_(k=0)^n((2k-1)!!)/((2k)!!)cos^(2k)x for m=2n+1.
(19)

餘弦乘以高斯函式的無窮積分也可以用閉合形式完成，

int_(-infty)^inftye^(-ax^2)cos(kx)dx=sqrt(pi/a)e^(-k^2/4a).
(20)

另請參閱

Chi, 阻尼指數餘弦積分, 尼爾森螺線, Shi, 正弦積分

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/CosIntegral/

在 中探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Sine and Cosine Integrals." §5.2 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 231-233, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 342-343, 1985.Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." Appl. Numer. Math. 34, 95-98, 2000.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105-106, 2003.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "Fresnel Integrals, Cosine and Sine Integrals." §6.79 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 248-252, 1992.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Cosine and Sine Integrals." Ch. 38 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 361-372, 1987.

在 上被引用

餘弦積分

引用為

Weisstein, Eric W. "餘弦積分。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CosineIntegral.html

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