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艾裡微分方程

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一些作者將廣義艾裡微分方程定義為

y^('')+/-k^2xy=0.
(1)

這個方程可以透過級數解法，使用以下展開式求解

y=sum_(n=0)^(infty)a_nx^n
(2)
y^'=sum_(n=0)^(infty)na_nx^(n-1)
(3)
=sum_(n=1)^(infty)na_nx^(n-1)
(4)
=sum_(n=0)^(infty)(n+1)a_(n+1)x^n
(5)
y^('')=sum_(n=0)^(infty)(n+1)na_(n+1)x^(n-1)
(6)
=sum_(n=1)^(infty)(n+1)na_(n+1)x^(n-1)
(7)
=sum_(n=0)^(infty)(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n.
(8)

透過取負號並設定 k^2=1，可以得到“傳統”艾裡微分方程。然後將 (8) 代入

y^('')-xy=0
(9)

得到

sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-xsum_(n=0)^inftya_nx^n=0
(10)
sum_(n=0)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-sum_(n=0)^inftya_nx^(n+1)=0
(11)
2a_2+sum_(n=1)^infty(n+2)(n+1)a_(n+2)x^n-sum_(n=1)^inftya_(n-1)x^n=0
(12)
2a_2+sum_(n=1)^infty[(n+2)(n+1)a_(n+2)-a_(n-1)]x^n=0.
(13)

為了使這個等式對所有 x 都成立，每一項必須單獨為 0。因此，

a_2=0
(14)
(n+2)(n+1)a_(n+2)=a_(n-1).
(15)

從 n=3 項開始，並使用上述遞推關係，我們得到

5·4a_5=20a_5=a_2=0.
(16)

繼續，透過歸納法可以得出

a_2=a_5=a_8=a_(11)=...a_(3n-1)=0
(17)

對於 n=1, 2, .... 現在檢查 a_(3n) 形式的項。

a_3=(a_0)/(3·2)
(18)
a_6=(a_3)/(6·5)=(a_0)/((6·5)(3·2))
(19)
a_9=(a_6)/(9·8)=(a_0)/((9·8)(6·5)(3·2)).
(20)

再次透過歸納法，

a_(3n)=(a_0)/([(3n)(3n-1)][(3n-3)(3n-4)]...[6·5][3·2])
(21)

對於 n=1, 2, .... 最後，檢視 a_(3n+1) 形式的項，

a_4=(a_1)/(4·3)
(22)
a_7=(a_4)/(7·6)=(a_1)/((7·6)(4·3))
(23)
a_(10)=(a_7)/(10·9)=(a_1)/((10·9)(7·6)(4·3)).
(24)

透過歸納法，

a_(3n+1)=(a_1)/([(3n+1)(3n)][(3n-2)(3n-3)]...[7·6][4·3])
(25)

對於 n=1, 2, .... 因此，通解為

y=a_0[1+sum_(n=1)^infty(x^(3n))/((3n)(3n-1)(3n-3)(3n-4)...3·2)] +a_1[x+sum_(n=1)^infty(x^(3n+1))/((3n+1)(3n)(3n-2)(3n-3)...4·3)].
(26)

對於帶有負號的廣義 k^2，方程 (◇) 為

y^('')-k^2xy=0,
(27)

解為

y(x)=1/3sqrt(x)[AI_(-1/3)(2/3kx^(3/2))-BI_(1/3)(2/3kx^(3/2))],
(28)

其中 I 是第一類修正貝塞爾函式。這通常用艾裡函式 Ai(x) 和 Bi(x) 表示。

y(x)=A^'Ai(k^(2/3)x)+B^'Bi(k^(2/3)x).
(29)

如果存在加號，則

y^('')+k^2xy=0
(30)

解為

y(x)=1/3sqrt(x)[AJ_(-1/3)(2/3kx^(3/2))+BJ_(1/3)(2/3kx^(3/2))],
(31)

其中 J(z) 是第一類貝塞爾函式。

艾裡微分方程的一個推廣由下式給出

y^(''')-4xy^'-2y=0,
(32)

其解為

y=C_1[Ai(x)]^2+C_2Ai(x)Bi(x)+C_3[Bi(x)]^2
(33)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 448; Zwillinger 1997, p. 128)。

另請參閱

艾裡-福克函式, 艾裡函式, 第一類貝塞爾函式, 第一類修正貝塞爾函式

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "艾裡函式." §10.4.1 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 446-452, 1972.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 413, 1995.Zwillinger, D. 微分方程手冊，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 121, 1997.

在 中被引用

艾裡微分方程

引用為

Weisstein, Eric W. "艾裡微分方程。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/AiryDifferentialEquation.html

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