常微分方程--常係數系統

求解微分方程組

其中 是一個 矩陣， 和 是 向量，首先考慮齊次情況 。以下方程的解為

由下式給出

但是，根據 特徵分解定理，矩陣指數 可以寫成

其中 特徵向量 矩陣 為

且 特徵值 矩陣 為

現在考慮

則各個解為

因此，齊次解為

其中 是任意常數。

因此，一般步驟如下

1. 透過求解 特徵方程 找到矩陣 的 特徵值 (, ..., )。

2. 確定相應的 特徵向量 , ..., 。

3. 計算

對於 , ..., 。 則 向量 （實數）是齊次方程的解。 如果 是一個 矩陣，則 複數 向量 對應於由 和 給出的齊次方程的實數解。

4. 如果方程是非齊次的，找到由下式給出的特解

其中 矩陣 由下式定義

如果方程是齊次的，使得 ，那麼尋找 以下形式 的解

這將得到方程

因此 是一個 特徵向量，而 是一個 特徵值。

5. 通解為