Lane-Emden 微分方程是一個二階常微分方程，產生於恆星內部結構的研究，也稱為多方氣體微分方程。其表示式為：
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(1)
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(Zwillinger 1997, pp. 124 and 126)。它具有以下邊界條件：
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(3)
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![[(dtheta)/(dxi)]_(xi=0)](/images/equations/Lane-EmdenDifferentialEquation/Inline4.svg) |  |  |
(4)
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上方展示了
對於 
、1、2、3 和 4 的解。 
、1 和 5 的情況可以解析求解（Chandrasekhar 1967, p. 91）；其他情況必須透過數值方法獲得解。
對於 
(
)，Lane-Emden 微分方程為：
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(5)
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(Chandrasekhar 1967, pp. 91-92)。直接求解得到：
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(6)
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(7)
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(8)
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(9)
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(10)
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(11)
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邊界條件 
給出 
和 
，因此：
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(12)
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並且 
是拋物線。
對於 
(
)，微分方程變為：
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(13)
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(14)
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這是球貝塞爾微分方程：
![d/(dr)(r^2(dR)/(dr))+[k^2r^2-n(n+1)]R=0](/images/equations/Lane-EmdenDifferentialEquation/NumberedEquation13.svg) |
(15)
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其中 
且 
，因此解為：
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(16)
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應用邊界條件 
得到：
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(17)
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其中 
是第一類球貝塞爾函式（Chandrasekhar 1967, p. 92）。
對於 
，進行 Emden 變換：
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(18)
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(19)
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這會將 Lane-Emden 方程簡化為：
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(20)
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(Chandrasekhar 1967, p. 90)。經過進一步的推導（此處未重現），方程變為：
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(21)
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然後，最終得到：
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(22)
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