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Duffing 微分方程

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Duffing 方程最常見的受迫形式是

x^..+deltax^.+(betax^3+/-omega_0^2x)=gammacos(omegat+phi).
(1)

根據所選引數，該方程可以呈現多種特殊形式。例如，在沒有阻尼和沒有外力的情況下，delta=gamma=0 並取加號，則方程變為

x^..+omega_0^2x+betax^3=0
(2)

(Bender 和 Orszag 1978, p. 547; Zwillinger 1997, p. 122)。此方程可以表現出混沌行為。對於 beta>0，該方程表示“硬彈簧”，對於 beta<0，它表示“軟彈簧”。如果 beta<0，則相圖曲線是閉合的。

如果改為取 beta=1，omega_0=1，重置時鐘使得 phi=0，並使用減號，則方程變為

x^..+deltax^.+(x^3-x)=gammacos(omegat).
(3)

這可以寫成一階常微分方程組，如下所示

x^.=y,
(4)
y^.=x-x^3-deltay+gammacos(omegat)
(5)

(Wiggins 1990, p. 5)，在無外力的情況下，簡化為

x^.=y
(6)
y^.=x-x^3-deltay
(7)

(Wiggins 1990, p. 6; Ott 1993, p. 3)。

這組耦合微分方程的定點由下式給出

x^.=y=0,
(8)

因此 y=0，且

y^.=x-x^3-deltay
(9)
=x(1-x^2)-0
(10)

給出 x=0,+/-1。因此，定點為 (-1,0)，(0,0)，和 (1,0)。

可以透過線性化方程來分析定點的穩定性。微分得到

x^..=y^.
(11)
=x-x^3-deltay
(12)
y^..=(1-3x^2)x^.-deltay^.,
(13)

這可以寫成矩陣方程

[x^..; y^..]=[0 1; 1-3x^2 -delta][x^.; y^.].
(14)

考察點 (0,0) 的穩定性

|0-lambda 1; 1 -delta-lambda|=lambda(lambda+delta)-1=lambda^2+lambdadelta-1=0
(15)
lambda_+/-^((0,0))=1/2(-delta+/-sqrt(delta^2+4)).
(16)

但是 delta^2>=0，所以 lambda_+/-^((0,0)) 是實數。由於 sqrt(delta^2+4)>|delta|，總會有一個正根，因此該定點是不穩定的。現在看 (+/-1, 0)。特徵方程為

|0-lambda 1; -2 -delta-lambda|=lambda(lambda+delta)+2=lambda^2+lambdadelta+2=0,
(17)

其根為

lambda_+/-^((+/-1,0))=1/2(-delta+/-sqrt(delta^2-8)).
(18)

對於 delta>0，R[lambda_+/-^((+/-1,0))]<0，因此該點是漸近穩定的。如果 delta=0，lambda_+/-^((+/-1,0))=+/-isqrt(2)，因此該點是線性穩定的 (Wiggins 1990, p. 10)。然而，如果 delta in (-2sqrt(2),0)，根式給出虛部，實部為 >0，因此該點是不穩定的。如果 delta=-2sqrt(2)，lambda_+/-^((+/-1,0))=sqrt(2)，它有一個正實根，因此該點是不穩定的。如果 delta<-2sqrt(2)，那麼 |delta|<sqrt(delta^2-8)，所以兩個根都是正的，並且該點是不穩定的。

DuffingOscillatorPhasePortrait

有趣的是，特殊情況 delta=0 且沒有外力，

x^.=y
(19)
y^.=x-x^3,
(20)

可以透過求積分來求解。對 (19) 求導並代入 (20) 得到

x^..=y^.=x-x^3.
(21)

兩邊同時乘以 x^. 得到

x^..x^.-x^.x+x^.x^3=0.
(22)

但這可以寫成

d/(dt)(1/2x^.^2-1/2x^2+1/4x^4)=0,
(23)

因此我們有一個運動不變數 h,

h=1/2x^.^2-1/2x^2+1/4x^4.
(24)

求解 x^.^2 得到

x^.^2=((dx)/(dt))^2=2h+x^2-1/2x^4
(25)
(dx)/(dt)=sqrt(2h+x^2-1/2x^4),
(26)

因此

t=intdt=int(dx)/(sqrt(2h+x^2-1/2x^4))
(27)

(Wiggins 1990, p. 29)。

請注意，運動不變數 h 滿足

x^.=(partialh)/(partialx^.)=(partialh)/(partialy)
(28)
(partialh)/(partialx)=-x+x^3=-y^.,
(29)

因此，Duffing 振盪器的方程由哈密頓系統給出

x^.=(partialh)/(partialy)
(30)
y^.=-(partialh)/(partialx)
(31)

(Wiggins 1990, p. 31)。

使用 探索

參考文獻

Bender, C. M. 和 Orszag, S. A. 科學家和工程師高階數學方法。 紐約：McGraw-Hill, p. 547, 1978。Ott, E. 動力系統中的混沌。 紐約：劍橋大學出版社，1993。Tabor, M. 非線性動力學中的混沌和可積性：導論。 紐約：Wiley, p. 35, 1989。Trott, M. "Mathematica 指南 補充材料：Duffing 振盪器的 Wigner 函式。" http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#N_1_08。Wiggins, S. "應用於阻尼、受迫 Duffing 振盪器的動力學。" §1.2E 在 應用非線性動力系統和混沌導論。 紐約：Springer-Verlag, pp. 5-6, 10, 23, 26-32, 44-45, 50-51, 和 153-175, 1990。Zwillinger, D. (Ed.). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 413, 1995。Zwillinger, D. 微分方程手冊，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 122, 1997。

在 中引用

Duffing 微分方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "Duffing 微分方程。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DuffingDifferentialEquation.html

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