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一階常微分方程

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給定一個一階常微分方程

(dy)/(dx)=F(x,y),
(1)

如果 F(x,y) 可以使用分離變數法表示為

F(x,y)=X(x)Y(y),
(2)

那麼該方程可以表示為

(dy)/(Y(y))=X(x)dx
(3)

並且該方程可以透過積分兩側求解得到

int(dy)/(Y(y))=intX(x)dx.
(4)

任何形如以下形式的一階常微分方程 of the form

(dy)/(dx)+p(x)y=q(x)
(5)

可以透過找到一個積分因子 mu=mu(x) 使得

d/(dx)(muy)=mu(dy)/(dx)+y(dmu)/(dx)
(6)
=muq(x).
(7)

兩邊同除以 muy 得到

1/y(dy)/(dx)+1/mu(dmu)/(dx)=(q(x))/y.
(8)

然而，這個條件使我們能夠明確地確定對於任意 p 和 q 的合適的 mu

p(x)=1/mu(dmu)/(dx)
(9)

在上述方程中，由此我們恢復了原始方程 (◇)，正如所要求的，形式為

1/y(dy)/(dx)+p(x)=(q(x))/y.
(10)

但是我們可以積分方程 (9) 的兩側得到

intp(x)dx=int(dmu)/mu=lnmu+c
(11)
mu=e^(intp(x)dx).
(12)

現在積分方程 (◇) 的兩側得到

muy=intmuq(x)dx+c
(13)

（其中 mu 現在是一個已知函式），它可以求解 y 得到

y=(intmuq(x)dx+c)/mu=(inte^(int^xp(x^')dx^')q(x)dx+c)/(e^(int^xp(x^')dx^')),
(14)

其中 c 是任意積分常數。

給定一個具有常係數的 n 階線性常微分方程

(d^ny)/(dx^n)+a_(n-1)(d^(n-1)y)/(dx^(n-1))+...+a_1(dy)/(dx)+a_0y=Q(x),
(15)

首先求解透過書寫以下形式得到的特徵方程

y=e^(rx)
(16)

並令 Q(x)=0 得到 n 個複數根。

r^ne^(rx)+a_(n-1)r^(n-1)e^(rx)+...+a_1re^(rx)+a_0e^(rx)=0
(17)
r^n+a_(n-1)r^(n-1)+...+a_1r+a_0=0.
(18)

因式分解得到根 r_i,

(r-r_1)(r-r_2)...(r-r_n)=0.
(19)

對於一個非重複實根 r，相應的解是

y=e^(rx).
(20)

如果一個實根 r 重複 k 次，則解是退化的，線性無關解是

y=e^(rx),y=xe^(rx),...,y=x^(k-1)e^(rx).
(21)

複數根總是成對出現，共軛複數對，r_+/-=a+/-ib。對於非重複複數根，解是

y=e^(ax)cos(bx),y=e^(ax)sin(bx).
(22)

如果複數根重複 k 次，則線性無關解是

y=e^(ax)cos(bx),y=e^(ax)sin(bx),...,y=x^(k-1)e^(ax)cos(bx),y=x^(k-1)e^(ax)sin(bx).
(23)

將適當型別的解與任意乘法常數線性組合，即可得到完整解。如果指定了初始條件，則可以明確確定常數。例如，考慮以下六階線性常微分方程

(D^~-1)(D^~-2)^3(D^~^2+D^~+1)y=0,
(24)

它具有特徵方程

(r-1)(r-2)^3(r^2+r+1)=0.
(25)

根為 1, 2 (三次), 和 (-1+/-sqrt(3)i)/2, 因此解是

y=Ae^x+Be^(2x)+Cxe^(2x)+Dx^2e^(2x)+Ee^(-x/2)cos(1/2sqrt(3)x)+Fe^(-x/2)sin(1/2sqrt(3)x).
(26)

如果原方程是非齊次的 (Q(x)!=0)，現在透過引數變分法找到特解 y^*。則通解為

y(x)=sum_(i=1)^nc_iy_i(x)+y^*(x),
(27)

其中線性方程的解是 y_1(x), y_2(x), ..., y_n(x), 並且 y^*(x) 是特解。

另請參閱

恰當一階常微分方程, 積分因子, 常微分方程, 二階常微分方程, 分離變數法, 引數變分法

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參考文獻

Arfken, G. 物理學家數學方法，第三版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 440-445, 1985.

在 中被引用

一階常微分方程

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "一階常微分方程。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

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