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阿貝爾微分方程恆等式

給定一個齊次線性二階常微分方程，

y^('')+P(x)y^'+Q(x)y=0,
(1)

將兩個線性無關解稱為 y_1(x) 和 y_2(x)。則

y_1^('')+P(x)y_1^'+Q(x)y_1=0
(2)
y_2^('')+P(x)y_2^'+Q(x)y_2=0.
(3)

現在，取 y_1× (3) 減去 y_2× (2)，

y_1[y_2^('')+P(x)y_2^'+Q(x)y_2]-y_2[y_1^('')+P(x)y_1^'+Q(x)y_1]=0 (y_1y_2^('')-y_2y_1^(''))+P(y_1y_2^'-y_1^'y_2)+Q(y_1y_2-y_1y_2)=0 (y_1y_2^('')-y_2y_1^(''))+P(y_1y_2^'-y_1^'y_2)=0.
(4)

現在，使用 Wronskian 的定義並求其導數，

W=y_1y_2^'-y_1^'y_2
(5)
W^'=(y_1^'y_2^'+y_1y_2^(''))-(y_1^'y_2^'+y_1^('')y_2)
(6)
=y_1y_2^('')-y_1^('')y_2.
(7)

將 W 和 W^' 代入 (4) 得到

W^'+PW=0.
(8)

這可以重新排列得到

(dW)/W=-P(x)dx
(9)

然後可以直接積分得到

ln[(W(x))/(W_0)]=-intP(x)dx,
(10)

其中 lnx 是自然對數。然後取指數得到阿貝爾恆等式

W(x)=W_0e^(-intP(x)dx),
(11)

其中 W_0 是積分常數。

另請參閱

阿貝爾微分方程， 二階常微分方程， 二階常微分方程的第二解

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參考文獻

Boyce, W. E. 和 DiPrima, R. C. 微分方程和邊值問題基礎教程，第 4 版 紐約: Wiley, pp. 118, 262, 277, 和 355, 1986.

在 上被引用

阿貝爾微分方程恆等式

引用為

Weisstein, Eric W. “阿貝爾微分方程恆等式。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/AbelsDifferentialEquationIdentity.html

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