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廣義雙曲函式

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1757年，V. Riccati 首次記錄了由下式定義的雙曲函式的推廣

F_(n,r)^alpha(x)=sum_(k=0)^infty(alpha^k)/((nk+r)!)x^(nk+r),
(1)

對於 r=0, ..., n-1, 其中 alpha 是複數，且在 x=0 處的值定義為

F_(n,0)^alpha(0)=1.
(2)

這被稱為 alpha-階 n 類 r 雙曲函式。函式 F_(n,r)^alpha 滿足

f^((k))(x)=alphaf(x),
(3)

其中

f^((k))(0)={0 k!=r, 0<=k<=n-1,; 1 k=r.
(4)

此外，

d/(dx)F_(n,r)^alpha(x)={F_(n,r-1)^alpha(x) for 0<r<=n-1; alphaF_(n,n-1)^alpha(x) for r=0.
(5)

這些函式給出了一個廣義尤拉公式

e^(RadicalBox[alpha, n])=sum_(r=0)^(n-1)(RadicalBox[alpha, n])^rF_(n,r)^alpha(x).
(6)

由於 n 有 n 個 alpha 次根，這給出了一個包含 n 個線性方程的系統。求解 F_(n,r)^alpha 得到

F_(n,r)^alpha(x)=1/n(RadicalBox[alpha, n])^(-r)sum_(k=0)^(n-1)omega_n^(-rk)exp(omega_n^kRadicalBox[alpha, n]x),
(7)

其中

omega_n=exp((2pii)/n)
(8)

zeta 是一個本原單位根。

拉普拉斯變換為

int_0^inftye^(-st)F_(n,r)^alpha(at)dt=(s^(n-r-1)a^r)/(s^n-alphaa^n).
(9)

廣義雙曲函式也與 Mittag-Leffler 函式 E_n(x) 相關，關係如下

F_(n,0)^1(x)=E_n(x^n)
(10)
=sum_(k=0)^(infty)(x^(kn))/((kn)!).
(11)

值 n=1 和 n=2 分別給出指數函式和圓函式/雙曲函式（取決於 alpha 的符號）。

F_(1,r)^alpha(x)=(e^(alphax)x^r)/((xalpha)^r)(Gamma(r)-Gamma(r,alphax))/(Gamma(r))
(12)
F_(2,r)^alpha(x)=(x^r)/(r!)_1F_2(1;1/2(1+r),1+1/2r;1/4alphax^2).
(13)

特別地

F_(1,0)^alpha(x)=e^(alphax)
(14)
F_(2,0)^alpha(x)=cosh(sqrt(alpha)x)
(15)
F_(2,1)^alpha(x)=(sinh(sqrt(alpha)x))/(sqrt(alpha)).
(16)

對於 alpha=1，前幾個函式是

F_(1,0)^1(x)=e^x
(17)
F_(2,0)^1(x)=coshx
(18)
F_(2,1)^1(x)=sinhx
(19)
F_(3,0)^1(x)=1/3[e^x+2e^(-x/2)cos(1/2sqrt(3)x)]
(20)
F_(3,1)^1(x)=1/3[e^x+2e^(-x/2)cos(1/2sqrt(3)x+1/3pi)]
(21)
F_(3,2)^1(x)=1/3[e^x+2e^(-x/2)cos(1/2sqrt(3)x-1/3pi)]
(22)
F_(4,0)^1(x)=1/2(coshx+cosx)
(23)
F_(4,1)^1(x)=1/2(sinhx+sinx)
(24)
F_(4,2)^1(x)=1/2(coshx-cosx)
(25)
F_(4,3)^1(x)=1/2(sinhx-sinx).
(26)

參見

雙曲函式, Mittag-Leffler 函式

使用 探索

參考文獻

Kaufman, H. "A Biographical Note on the Higher Sine Functions." Scripta Math. 28, 29-36, 1967.Muldoon, M. E. and Ungar, A. A. "Beyond Sin and Cos." Math. Mag. 69, 3-14, 1996.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Ungar, A. "Generalized Hyperbolic Functions." Amer. Math. Monthly 89, 688-691, 1982.Ungar, A. "Higher Order Alpha-Hyperbolic Functions." Indian J. Pure. Appl. Math. 15, 301-304, 1984.

在 中被引用

廣義雙曲函式

引用為

韋斯坦因, 埃裡克·W. "廣義雙曲函式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/GeneralizedHyperbolicFunctions.html

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