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前角公式

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前角公式，也稱為辛普森公式，是三角學公式，用於將函式乘積轉換為和或差。它們由下式給出

sinalpha+sinbeta=2sin[1/2(alpha+beta)]cos[1/2(alpha-beta)]
(1)
sinalpha-sinbeta=2cos[1/2(alpha+beta)]sin[1/2(alpha-beta)]
(2)
cosalpha+cosbeta=2cos[1/2(alpha+beta)]cos[1/2(alpha-beta)]
(3)
cosalpha-cosbeta=-2sin[1/2(alpha+beta)]sin[1/2(alpha-beta)].
(4)

這種形式的三角函式可以在 Wolfram 語言 中使用以下命令獲得TrigFactor[expr].

TrigSumProduct

這些可以使用上圖（Kung 1996）推匯出來。從圖中，定義

theta=1/2(alpha-beta)
(5)
gamma=1/2(alpha+beta).
(6)

然後我們有恆等式

s=1/2(sinalpha+sinbeta)
(7)
=cos[1/2(alpha-beta)]sin[1/2(alpha+beta)]
(8)
t=1/2(cosalpha+cosbeta)
(9)
=cos[1/2(alpha-beta)]cos[1/2(alpha+beta)].
(10)
TrigDiffProduct

兩個角的餘弦和正弦的差的三角積公式可以使用上面所示的類似圖形（Kung 1996）推匯出來。使用先前定義的 theta 和 gamma，上圖給出

u=cosbeta-cosalpha
(11)
=2sin[1/2(alpha-beta)]sin[1/2(alpha+beta)]
(12)
v=sinalpha-sinbeta
(13)
=2sin[1/2(alpha-beta)]cos[1/2(alpha+beta)].
(14)

另請參閱

和角公式, 三角加法公式, 沃納公式

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參考文獻

Kung, S. H. "Proof without Words: The Difference-Product Identities" and "Proof without Words: The Sum-Product Identities." Math. Mag. 69, 269, 1996.

在 上被引用

前角公式

引用為

Weisstein, Eric W. "Prosthaphaeresis Formulas." 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/ProsthaphaeresisFormulas.html

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