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超行列式

普通行列式到“更高維度”超矩陣的技術定義的擴充套件。凱萊（Cayley，1845年）最初創造了這個術語，但隨後用它來指代多線性形式的代數不變數。2×2×2 超矩陣 A=a_(ijk)（對於i,j,k=0,1）的超行列式由下式給出

det(A)=(a_(000)^2a_(111)^2+a_(001)^2a_(110)^2+a_(010)^2a_(101)^2+a_(011)^2a_(100)^2)-2(a_(000)a_(001)a_(110)a_(111)+a_(000)a_(010)a_(101)a_(111)+a_(000)a_(011)a_(100)a_(111)+a_(001)a_(010)a_(101)a_(110)+a_(001)a_(011)a_(110)a_(100)+a_(010)a_(011)a_(101)a_(100))+4(a_(000)a_(011)a_(101)a_(110)+a_(001)a_(010)a_(100)a_(111)).
(1)

當且僅當以下六個未知數方程組具有非平凡解時，上述超行列式消失。

a_(000)x_0y_0+a_(010)x_0y_1+a_(100)x_1y_0+a_(110)x_1y_1=0
(2)
a_(001)x_0y_0+a_(011)x_0y_1+a_(101)x_1y_0+a_(111)x_1y_1=0
(3)
a_(000)x_0z_0+a_(001)x_0z_1+a_(100)x_1z_0+a_(101)x_1z_1=0
(4)
a_(010)x_0z_0+a_(011)x_0z_1+a_(110)x_1z_0+a_(111)x_1z_1=0
(5)
a_(000)y_0z_0+a_(001)y_0z_1+a_(010)y_1z_0+a_(011)y_1z_1=0
(6)
a_(100)y_0z_0+a_(101)y_0z_1+a_(110)y_1z_0+a_(111)y_1z_1=0.
(7)

Glynn（1998年）發現了唯一已知的維度大於2的乘法超行列式。

另請參閱

行列式，超矩陣

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參考文獻

Cayley, A. "論線性變換理論。" 劍橋數學雜誌 4, 193-209, 1845.Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; 和 Zelevinsky, A. V. "超行列式。" 數學進展 96, 226-263, 1992.Glynn, D. G. "凱萊超行列式的模對應物。" 澳大利亞數學學會公報 57, 479-497, 1998.Schläfli, L. "關於多個代數方程組的合力。" Denkschr. Kaiserl. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Klasse 4, 1852.

在 中被引用

超行列式

請引用為

Weisstein, Eric W. "超行列式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Hyperdeterminant.html

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