積和式

積和式是行列式的類似物，其中按子式展開式中的所有符號都取為正號。矩陣 的積和式是 的係數，在

(1)

(Vardi 1991)。另一個等式是 雷瑟公式

(2)

其中求和是對 的所有子集進行的，而 是 中元素的數量 (Vardi 1991)。Muir (1960, p. 19) 使用符號 來表示積和式。

積和式可以在 Wolfram 語言 中實現為

  Permanent[m_List] :=
    With[{v = Array[x, Length[m]]},
      Coefficient[Times @@ (m.v), Times @@ v]
  ]

積和式的計算在代數複雜性理論中得到了相當廣泛的研究。已知最佳演算法的複雜度隨著矩陣大小的指數增長 (Knuth 1998, p. 499)，考慮到積和式與易處理的行列式的相似性，這似乎非常令人驚訝。積和式的計算是 #P-完全問題 (即 sharp-P 完全問題；Valiant 1979)。

如果 是一個 酉矩陣，那麼

(3)

(Minc 1978, p. 25; Vardi 1991)。對於 (0,1)-矩陣，最大積和式為 ，對應於所有元素都為 1。