黎曼張量

黎曼張量（Schutz 1985） ，也稱為黎曼-克里斯托費爾曲率張量（Weinberg 1972，第 133 頁；Arfken 1985，第 123 頁）或黎曼曲率張量（Misner等人1973，第 218 頁），是一種在廣義相對論中有用的四指標張量。其他重要的廣義相對論張量，例如裡奇曲率張量和標量曲率，可以用 來定義。

在某種意義上，黎曼張量是唯一可以從度量張量及其一階和二階導數構造出來的張量，

(1)

其中 是第一類克里斯托費爾符號，而 是逗號導數（Schmutzer 1968，第 108 頁；Weinberg 1972）。在一維空間中，。在四維空間中，有 256 個分量。利用對稱關係，

(2)

獨立分量的數量減少到 36。使用條件

(3)

座標的數量減少到 21。最後，使用

(4)

還剩下 20 個獨立分量（Misner等人1973，第 220-221 頁；Arfken 1985，第 123-124 頁）。

一般來說， 維空間中獨立分量的數量由下式給出

(5)

“四維稜錐數”，前幾個值是 0、1、6、20、50、105、196、336、540、825、...（OEIS A002415）。可以從 和 構造的標量的數量是

(6)

（Weinberg 1972）。前幾個值是 0、1、3、14、40、90、175、308、504、780、...（OEIS A050297）。

用雅可比張量 表示，

(7)

令

(8)

其中 內部的量是第二類克里斯托費爾符號。那麼

(9)

分解為 維空間中最簡單的形式，

(10)

這裡， 是裡奇曲率張量， 是標量曲率，而 是外爾張量。