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比安基恆等式

黎曼張量的協變導數由下式給出

R_(lambdamunukappa;eta)=1/2partial/(partialx^eta)((partial^2g_(lambdanu))/(partialx^kappapartialx^mu)-(partial^2g_(munu))/(partialx^kappapartialx^lambda)-(partial^2g_(lambdakappa))/(partialx^mupartialx^nu)+(partial^2g_(mukappa))/(partialx^nupartialx^lambda)).
(1)

對 nu, kappa, 和 eta 進行置換 (Weinberg 1972, pp. 146-147) 得到比安基恆等式

R_(lambdamunukappa;eta)+R_(lambdamuetanu;kappa)+R_(lambdamukappaeta;nu)=0,
(2)

可以簡明地寫成

R^alpha_(beta[lambdamu;nu])=0
(3)

(Misner et al. 1973, p. 221), 其中 T_([a_1...a_n]) 表示反對稱張量部分。Wald (1984, p. 39) 稱

del _([a)R_(bc]d)^e=0
(4)

比安基恆等式，其中 del 是協變導數，而 R_(abc)^d 是黎曼張量。

另請參閱

收縮比安基恆等式, 愛因斯坦場方程, 裡奇曲率張量, 黎曼張量

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參考文獻

Misner, C. W.; Thorne, K. S.; and Wheeler, J. A. Gravitation. 舊金山: W. H. Freeman, 1973.Wald, R. M. General Relativity. 芝加哥, IL: University of Chicago Press, 1984.Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. 紐約: Wiley, 1972.

在 中被引用

比安基恆等式

請引用為

Weisstein, Eric W. "比安基恆等式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BianchiIdentities.html

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