度量簽名

術語度量簽名指的是度量張量 在光滑流形 上的簽名，它是一種工具，用於量化的切叢中切向量的正、零和負無窮小距離的數量，並且最容易根據許多相關結構的簽名來定義。

最常見的是，人們將度量張量 的簽名與二次型 的簽名 識別為同一概念，其中二次型 是由 在任何切空間 （對於點 ）上誘導產生的。實際上，給定任何切空間 的正交向量基 ， 在任意向量 和 在 中的作用由下式給出

(1)

由此， 的簽名被定義為任何形式 的簽名，即內積 的正值、負值和零值的有序三元組 。由於對於 的簽名對於 中的所有點 保持不變，因此該值是明確定義的。對於非退化二次型，值 將始終滿足 ，由此 的簽名將是有序對 。

或者，可以根據矩陣簽名來檢視度量張量的簽名。對於一個 維可微流形 ，其切空間 具有基 ，張量 誘匯出一個 矩陣 ，其 -項 由下式給出

(2)

由於矩陣 的簽名對於所有 都是相同的，因此可以將度量張量 的簽名定義為任何 的 的矩陣簽名。此外，透過在任何逐點切空間 上重寫 ，可以得出結論，該定義等效於上面提到的二次簽名定義。

在許多情況下，人們發現將度量張量 本身表示為對角矩陣是有益的，通常表示為 ，其分量有時稱為與 相關的“度量係數”。在這種情況下， 的簽名正是 的矩陣簽名。例如，在閔可夫斯基空間中，

(3)

這對應於 4 維洛倫茲空間中的度量張量具有簽名 (Misner et al. 1973)。這種觀點要求人們為 的作用定義一個區域性基，但根據西爾維斯特慣性定律，此定義是明確定義的，與基向量的選擇無關。

在 維偽歐幾里得空間中，度量張量通常表示為 ，其簽名定義為有序對 ，其中 和 分別表示 展開式中正項和負項的數量。

(4)

從 符號到 符號的轉換由恆等式總結

(5)

其中 是適當選擇的基向量 (Snygg 2012)。

對於 維歐幾里得空間，度量簽名是 。對於 維洛倫茲空間 ，度量簽名是 ，例如，特殊相對論的閔可夫斯基空間的簽名是 (如上所述)。請注意，在上面的 (1) 中，正平方項和負平方項的順序有時會交換，在這種約定下，簽名將由 給出，例如， 對於 維歐幾里得空間，以及 對於 維洛倫茲空間。這種約定也可能延續到 是矩陣 的情況，例如，在上面的公式 (2) 中， 可以替換為 。

簽名為 的一般張量出現在克利福德代數的研究中。