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凱萊三次曲面

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CayleyCubic
CayleyCubic2

凱萊三次曲面是唯一具有四個尋常二重點的三次曲面（Hunt），這是三次曲面的最大可能值（Endraß）。凱萊三次曲面在四面體群下是不變的，並且恰好包含九條線，其中六條成對連線四個節點，另外三條是共面的（Endraß）。

如果射影三空間中的尋常二重點被取為 (1, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)，則曲面在射影座標中的方程為

1/(x_0)+1/(x_1)+1/(x_2)+1/(x_3)=0
(1)

(Hunt)。定義“仿射”座標，無窮遠平面為 v=x_0+x_1+x_2+2x_3 和

x=(x_0)/v
(2)
y=(x_1)/v
(3)
z=(x_2)/v
(4)

然後給出方程

-5(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2y+z^2x)+2(xy+xz+yz)=0
(5)

在左圖中繪製（Hunt）。Endraß (2003) 給出了略有不同的形式

4(x^3+y^3+z^3+w^3)-(x+y+z+w)^3=0
(6)

當以 四面體座標 重寫時，變為

x^2+y^2-x^2z+y^2z+z^2-1=0,
(7)

在右圖中繪製。

CayleyCubicHessian

凱萊三次曲面的黑塞矩陣由下式給出

0=x_0^2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+x_1^2(x_0x_2+x_0x_3+x_2x_3) +x_2^2(x_0x_1+x_0x_3+x_1x_3)+x_3^2(x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2)
(8)

在齊次座標 x_0, x_1, x_2, 和 x_3 中。將無窮遠平面取為 v=5(x_0+x_1+x_2+2x_3)/2 並設定 x, y, 和 z 如上所示，給出方程

25[x^3(y+z)+y^3(x+z)+z^3(x+y)]+50(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2) -125(x^2yz+y^2xz+z^2xy)+60xyz-4(xy+xz+yz)=0,
(9)

如上圖所示繪製（Hunt）。凱萊三次曲面的黑塞矩陣有 14 個尋常二重點，比光滑三次曲面的一般黑塞矩陣多四個（Hunt）。

另請參閱

凱萊曲面

使用 探索

參考文獻

Endraß, S. "Flächen mit vielen Doppelpunkten." DMV-Mitteilungen 4, 17-20, 1995 年 4 月。Endraß, S. "The Cayley Cubic." 2003 年 2 月 6 日。 http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/docs/Ecayley.shtml。Fischer, G. (Ed.). Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Kommentarband. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 14, 1986.Fischer, G. (Ed.). Plate 33 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 33, 1986.Hunt, B. "Some Beautiful Algebraic Surfaces." http://www.mathematik.uni-kl.de/~hunt/drawings.html。Hunt, B. The Geometry of Some Special Arithmetic Quotients. New York: Springer-Verlag, pp. 115-122, 1996.Nordstrand, T. "The Cayley Cubic." http://jalape.no/math/cleytxt。

請引用為

Weisstein, Eric W. "凱萊三次曲面。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/CayleyCubic.html

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