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尼科米德斯蚌線

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ConchoidofNicomedesCurves
Conchoid of Nicomedes animation
ConchoidofNicomedes

一條使用 極座標的曲線，

r=b+asectheta
(1)

由希臘數學家尼科米德斯於公元前 200 年左右研究，也稱為螺線。它是從焦點沿線測量，距離直線固定距離的點的軌跡 (MacTutor Archive)。尼科米德斯認識到該族曲線的三種不同形式，分別對應於 0<a/b<1, a/b=1, 和 a/b>1。（對於 a=0, 它顯然退化為一個圓。）

尼科米德斯蚌線是 17 世紀數學家們的最愛，可用於解決倍立方問題、三等分角問題、正七邊形構造以及其他紐西斯作圖問題 (Johnson 1975)。

在笛卡爾座標系中，尼科米德斯蚌線可以寫成

(x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2
(2)

或

(a-b-x)(a+b-x)x^2+(a-x)^2y^2=0.
(3)

該蚌線以 x=a 為漸近線，並且任一支曲線與漸近線之間的面積是無限的。

ConchoidofNicomedesLoop

當 0<a/b<1 時，具有 0<a/b<1 的蚌線有一個環，其中 theta in [x,2pi-x]，其中 x=sec^(-1)(-b/a)，環的面積為

A=1/2int_x^(2pi-x)r^2dtheta
(4)
=1/2int_(sec^(-1)(-b/a))^(2pi-sec^(-1)(-b/a))(b+asectheta)^2dtheta
(5)
=asqrt(b^2-a^2)-2abln(b-sqrt(b^2-a^2))+b^2cos^(-1)(a/b).
(6)

曲率和切線角由下式給出

kappa(t)=(b(b+3asect-2asec^3t))/((b^2+2absect+a^2sec^4t)^(3/2))
(7)
phi(t)=-1/2pi+t+tan^(-1)[((a+bcost)cott)/a].
(8)

另請參閱

蚌線, 斯盧茲蚌線

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 215, 1987.Johnson, C. "正七邊形的構造。" Math. Gaz. 59, 17-21, 1975.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。 New York: Dover, pp. 135-139, 1972.Loomis, E. S. "蚌線。" §2.2 in 勾股定理：其證明的分析和分類以及四種“證明”資料來源的參考書目，第 2 版。 Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, pp. 20-22, 1968.Loy, J. "三等分角。" http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves.MacTutor History of Mathematics Archive. "蚌線。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Conchoid.html.Pappas, T. "尼科米德斯蚌線。" 數學之樂。 San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 94-95, 1989.Smith, D. E. 數學史，第 2 卷：初等數學專題。 New York: Dover, p. 327, 1958.Steinhaus, H. 數學快照，第 3 版。 New York: Dover, pp. 154-155, 1999.Szmulowicz, F. "錐體反射和折射中的尼科米德斯蚌線。" Amer. J. Phys. 64, 467-471, Apr. 1996.Wells, D. 企鵝好奇有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 34, 1986.Wells, D. 企鵝好奇有趣的幾何詞典。 London: Penguin, pp. 38-39, 1991.Yates, R. C. "蚌線。" 曲線及其性質手冊。 Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 31-33, 1952.

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "尼科米德斯蚌線。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/ConchoidofNicomedes.html

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