魚曲線

魚曲線是本文中創造的一個術語，指的是離心率 的特殊情況下，焦點為垂足點的橢圓負垂足曲線。對於一個橢圓，其引數方程為

			(1)
			(2)

對應的魚曲線具有引數方程

			(3)
			(4)

笛卡爾方程為

(5)

當原點平移到結點時，該方程可以寫成

(6)

(Lockwood 1957)。

在上述引數化中，曲線的內部方向不一致，當遍歷曲線時，魚頭在曲線的左側，魚尾在曲線的右側。將曲線的兩個部分分別處理，則得到魚尾和魚頭的面積為

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			(8)

魚的整體面積為

(9)

(Lockwood 1957)。

曲線的弧長由下式給出

			(10)
			(11)
			(12)

(Lockwood 1957)。

曲率和切線角由下式給出

			(13)
			(14)

其中 是復變輻角。

上面展示的Tschirnhausen 立方曲線也像一條魚，三葉曲線也是如此。