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塔爾伯特曲線

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TalbotsCurve

塔爾伯特研究的一種曲線，它是關於橢圓中心的橢圓負垂足曲線，適用於離心率為 e^2>1/2 的橢圓（Lockwood 1967，p. 157）。它有四個尖點和兩個普通二重點。對於橢圓，其引數方程為

x=acost
(1)
y=bsint
(2)

塔爾伯特曲線具有引數方程

x=acos^3t+((2a^2-b^2)costsin^2t)/a
(3)
=((a^2+c^2sin^2t)cost)/a
(4)
=acost(1+e^2sin^2t)
(5)
y=bsin^3t+((2b^2-a^2)sintcos^2t)/b
(6)
=((a^2-2c^2+c^2sin^2t)sint)/b
(7)
=(asint(1-2e^2+e^2sin^2t))/(sqrt(1-e^2)),
(8)

其中

c=sqrt(a^2-b^2)
(9)

是橢圓中心與其一個焦點之間的距離，並且

e=sqrt(1-(b^2)/(a^2))=c/a
(10)

是離心率。

特殊情況 a=b 給出的是圓。

TalbotsCurveParallels

該曲線在外形上也與橢圓平行曲線非常相似 (Arnold 1990, p. x)。

面積和弧長是

A=((10a^2b^2-a^4-b^4)pi)/(8ab)
(11)
s=4bK(e),
(12)

其中 K(k) 是第一類完全橢圓積分，其橢圓模量為 e。

曲率和切線角是

kappa(t)=(4sqrt(2)a^2b^2)/([a^2+b^2+c^2cos(2t)]^(3/2)[a^2+b^2-3c^2cos(2t)])
(13)
phi(t)=tan^(-1)((btant)/a).
(14)

另請參閱

伯利橢圓, 橢圓, 橢圓負垂足曲線, 橢圓平行曲線, 魚曲線, 負垂足曲線, 三葉曲線

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參考文獻

Arnold, V. I. 奇點，焦散和波前。 Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1990.Lockwood, E. H. 曲線之書。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 157, 1967.MacTutor History of Mathematics Archive. "塔爾伯特曲線。" http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Talbots.html.

引用為

魏斯坦, 埃裡克·W. "塔爾伯特曲線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/TalbotsCurve.html

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