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負踏瓣曲線

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給定一條曲線 C 和一個固定點 O=(x_0,y_0)，稱為踏瓣點，那麼對於曲線 C 上的點 P，繪製一條與 OP 垂直的直線。包絡線，當點 P 在曲線 C 上移動時，這些直線的包絡線描述的曲線 C 是 C 的負踏瓣曲線。它可以透過考慮曲線 C 的垂直線段 ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) 來構造，曲線 C 由 (f,g) 引數化。由於垂直線段的一端對應於點 P，(x_1,y_1)=(f,g)。另一個端點可以透過取與 OP 直線垂直的直線找到，得到

(x_2,y_2)=(f,g)+(-(g-y_0),f-x_0),
(1)

或

x_2=y_0+f-g
(2)
y_2=-x_0+f+g.
(3)

代入直線的兩點式方程，得到

y-y_1=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)(x-x_1),
(4)

或

U(x,y,t)=y-((x-f)(f-x_0))/(y_0-g)-g=0.
(5)

求解方程組 U(x,y,t)=0 和 partialU/partialt=0，得到負踏瓣曲線的方程為

x_n=-([(g-y_0)^2-(f-x_0)f]g^'+(2f-x_0)(g-y_0)f^')/((f-x_0)g^'-(g-y_0)f^')
(6)
y_n=([(f-x_0)^2-(g-y_0)g]f^'+(2g-y_0)(f-x_0)g^')/((f-x_0)g^'-(g-y_0)f^').
(7)

如果曲線 P 是曲線 C 的踏瓣曲線，那麼 C 是 P 的負踏瓣曲線 (Lawrence 1972, pp. 47-48)。

下表總結了一些常見曲線的負踏瓣曲線。

曲線踏瓣點負踏瓣曲線
心臟線負踏瓣曲線原點圓
心臟線負踏瓣曲線尖點對面點蔓葉線
圓負踏瓣曲線圓內橢圓
圓負踏瓣曲線圓外雙曲線
橢圓負踏瓣曲線，其中 e>1/2中心塔爾博特曲線
橢圓負踏瓣曲線，其中 e<=1/2焦點卵形線
橢圓負踏瓣曲線，其中 e>1/2焦點雙尖點曲線
直線任意點拋物線
拋物線負踏瓣曲線原點半立方拋物線
拋物線負踏瓣曲線焦點契爾恩豪森三次曲線

另請參閱

逆踏瓣曲線, 踏瓣曲線

使用 探索

參考文獻

Ameseder, A. "負足跡曲線理論。" Archiv Math. u. Phys. 64, 164-169, 1879.Ameseder, A. "圓錐曲線的負足跡曲線。" Archiv Math. u. Phys. 64, 170-176, 1879.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄。 紐約: Dover, pp. 46-49, 1972.Lockwood, E. H. "負踏瓣曲線。" Ch. 19 in 曲線之書。 英國劍橋: 劍橋大學出版社, pp. 156-159, 1967.

在 中被引用

負踏瓣曲線

請引用為

Weisstein, Eric W. "負踏瓣曲線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/NegativePedalCurve.html

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