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Bifolium


Bifolium

bifolium 是一種 葎葉線,其中 b=0。 bifolium 是一條 四次曲線,由隱式方程給出:

 (x^2+y^2)^2=4axy^2
(1)

以及極座標方程

 r=4asin^2thetacostheta.
(2)

bifolium 的面積為:

A=1/2int_0^pi(4acosthetasin^2theta)^2dtheta
(3)
=int_0^(pi/2)(4acosthetasin^2theta)^2dtheta
(4)
=1/2pia^2.
(5)

弧長為:

s=4sqrt(2)aint_0^(pi/2)sqrt(3+3cos(2t)+2cos(4t))sintdt
(6)
=(35[E(phi,k)+E(k)]c_1+4sqrt(2)[(7c_1F(phi,k)+K(k))+2c_2^2])/(42)a
(7)
=7.1555...a
(8)

(OEIS A118307),其中 F(phi,k)K(k)E(phi,k)E(k) 是橢圓積分,其中:

c_1=sqrt(4sqrt(2)-5)
(9)
c_2=sqrt(4sqrt(2)+5)
(10)
phi=sin^(-1)((9-4sqrt(2))/7)
(11)
=sin^(-1)((4-c_1^2)/7)
(12)
k=sqrt(-(40sqrt(2)+57)/7)
(13)
=sqrt(-(c_2^4)/7).
(14)

曲率由下式給出:

kappa(t)=(sqrt(2)csctheta(3cos^3theta+sin^4theta))/([3+3cos(2theta)+2cos(4theta)]^(3/2))
(15)
=([3+3cos(2theta)+cos(4theta)]csctheta)/(asqrt(2)[3+3cos(2theta)+2cos(4theta)]^(3/2)).
(16)

bifolium 是三角曲線垂足曲線,其中垂足點是三個彎曲邊之一的中點


另請參閱

Bifoliate, 葎葉線, 開普勒葎葉線, Links Curve, 四葉線, 玫瑰線, 三葉線

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表格,第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 214, 1987.Lawrence, J. D. 特殊平面曲線目錄 New York: Dover, pp. 152-153, 1972.MacTutor 數學史檔案館。“雙葉線。” http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Double.html.Sloane, N. J. A. 序列 A118307,出自“整數序列線上百科全書”。

請引用為

Weisstein, Eric W. “Bifolium。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Bifolium.html

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