Julia集

設 為一個 有理函式

(1)

其中 , 是 黎曼球面 , 並且 和 是 多項式，沒有公因數。“填充” Julia 集 是點的集合 ，這些點在重複應用 後不會趨於無窮（對應於一個 奇異吸引子）。真 Julia 集 是填充集的邊界（“例外點”的集合）。Julia 集有兩種型別：連通集（Fatou 集）和 康託集（Fatou 塵埃）。

二次 Julia 集由二次對映生成

(2)

對於固定的 。對於幾乎每個 ，這種變換生成一個 分形。上面顯示了 的各種值的示例。對於 (Dufner et al. 1998, pp. 224-226) 和 (Dufner et al. 1998, pp. 125-126)，結果物件不是分形，儘管似乎不知道這兩個值是否是唯一的例外值。

在 曼德勃羅集 邊界上的特殊情況 被稱為 樹枝狀分形（左上圖）， 被稱為 杜阿迪兔子分形（右上圖）， 被稱為 聖馬可分形（左下圖），而 是 西格爾圓盤分形（右下圖）。

二次 Julia 集的方程是一個 共形對映，因此角度被保留。設 為 Julia 集，則 使 不變。如果點 在 上，則其所有迭代都在 上。該變換具有二值逆。如果 且 從 0 開始，則該對映等價於 邏輯斯蒂對映。使 連通的所有點的集合被稱為 曼德勃羅集。

對於一個 Julia 集 ，當 時，容量維數 為

(3)

對於小的 ， 也是一個 若爾當曲線，儘管它的點不是 可計算的。