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Logistic Map

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LogisticEquationIterations

替換 logistic 方程

(dx)/(dt)=rx(1-x)
(1)

用 二次遞推方程

x_(n+1)=rx_n(1-x_n),
(2)

其中 r (有時也表示為 mu) 是一個 正 常數，有時被稱為“生物潛力”，給出了所謂的 logistic map。這個 二次對映 能夠產生非常複雜的行為。雖然 John von Neumann 曾在 1940 年代後期建議使用 logistic map x_(n+1)=4x_n(1-x_n) 作為隨機數生成器，但直到 W. Ricker 在 1954 年的工作以及 Paul Stein 和 Stanislaw Ulam 從 1950 年代開始對 logistic map 進行詳細的分析研究，這種型別的對映超出簡單振盪行為的複雜特性才被廣泛注意到 (Wolfram 2002, pp. 918-919)。

logistic map 的前幾次迭代 (2) 給出

x_1=rx_0(1-x_0)
(3)
x_2=r^2(1-x_0)x_0(1-rx_0+rx_0^2)
(4)
x_3=r^3(1-x_0)x_0(1-rx_0+rx_0^2)×(1-r^2x_0+r^2x_0^2+r^3x_0^2-2r^3x_0^3+r^3x_0^4),
(5)

其中 x_0 是初始值，上面繪製了五次迭代（迭代次數增加用顏色表示；1 為紅色，2 為黃色，3 為綠色，4 為藍色，5 為紫色），針對 r 的各種值。

Web diagram of the logistic map

使用圖形程式計算的 logistic map (Tabor 1989, p. 217) 被稱為 web 圖。web 圖 顯示了這個程式的大約前一百次迭代 r=3.741 和初始值 x_0 approx 0.00079 出現在 Packel (1996; 左圖) 的封面上，並在上面的右圖中以動畫形式展示。

通常，這個 遞推方程 不能以閉合形式求解。Wolfram (2002, p. 1098) 假設任何精確解必須具有以下形式

x_n=1/2{1-f[r^nf^(-1)(1-2x_0)]},
(6)

其中 f 是某個函式，而 f^(-1) 是它的 反函式。M. Trott (私人通訊) 已經表明，對於 r 的一般值，光滑解是不存在的，r 為偶數且非零的情況可能是個例外。唯一已知的精確解是針對 r=-2、r=2 和 r=4 的情況，總結在下表中 (Wolfram 2002, p. 1098)，並且 R. Germundsson (私人通訊，2002 年 4 月 25 日) 已經證明不可能存在其他這種形式的解。

rf(x)解
-22cos(1/3(pi-sqrt(3)x))1/2-cos{1/3[pi-(-2)^n(pi-3cos^(-1)(1/2-x_0))]}
2e^x1/2{1-exp[2^nln(1-2x_0)]}
4cosx1/2{1-cos[2^ncos^(-1)(1-2x_0)]}
LogisticEquationBifurcation

上面的圖示顯示了 logistic map 的分岔圖，它是透過繪製 r 的函式，一系列 x_n 的值，這些值是透過從隨機值 x_0 開始，迭代多次，並丟棄與迭代收斂到吸引子之前的值對應的初始點而獲得的。換句話說，對於給定的 r 值，x_n 的不動點集被繪製出來，r 的值向右遞增。

LogisticMapBifurcations

上面說明了先前圖表在 r=3.5 附近的放大圖，其中 r 的值，在 2^n-週期首次出現時，用藍線標示。

為了研究 logistic map 的不動點，設初始點 x_0 位於區間 [0,1] 內。現在找到 r 的適當條件，以保持點在區間內。x_(n+1) 可以取的最大值可以從下式找到

(dx_(n+1))/(dx_n)=r(1-2x_n)=0,
(7)

因此，x_(n+1) 的最大值發生在 x_n=1/2 時。代入此值，max(x_(n+1))=r/4。因此，為了將 map 保持在期望區域內，我們必須有 r in [0,4]。雅可比矩陣是

J=|(dx_(n+1))/(dx_n)|=|r(1-2x_n)|,
(8)

如果 J(x_0)<1，則 map 在點 x_0 處是穩定的。

現在找到 map 的 不動點，當 x_(n+1)=x_n 時出現。為了方便，去掉 n 在 x_n 上的下標

f(x)=rx(1-x)=x
(9)
x[1-r(1-x)]=x(1-r+rx)=rx[x-(1-r^(-1))]=0,
(10)

因此，不動點是 x_1^((1))=0 和 x_2^((1))=1-r^(-1)。

如果選擇大於 3 的 r 值，則會發生有趣的事情。map 變得不穩定，我們得到一個 音叉分岔，其中有兩個週期為 2 的穩定軌道，對應於 f^2(x) 的兩個穩定 不動點。二階不動點必須滿足 x_(n+2)=x_n，因此

x_(n+2)=rx_(n+1)(1-x_(n+1))
(11)
=r[rx_n(1-x_n)][1-rx_n(1-x_n)]
(12)
=r^2x_n(1-x_n)(1-rx_n+rx_n^2)
(13)
=x_n.
(14)

為了方便，去掉 n 下標並重寫

x{r^2[1-x(1+r)+2rx^2-rx^3]-1}=0
(15)
x[-r^3x^3+2r^3x^2-r^2(1+r)x+(r^2-1)]=0
(16)
-r^3x[x-(1-r^(-1))][x^2-(1+r^(-1))x+r^(-1)(1+r^(-1))]=0.
(17)

請注意，我們也找到了第一個一階 不動點，因為一階 不動點 的兩次迭代會產生一個平凡的二階 不動點。真正的 2-週期 由二次部分的解給出

x_+/-^((2))=1/2[(1+r^(-1))+/-sqrt((1+r^(-1))^2-4r^(-1)(1+r^(-1)))]
(18)
=1/2[(1+r^(-1))+/-sqrt(1+2r^(-1)+r^(-2)-4r^(-1)-4r^(-2))]
(19)
=1/2[(1+r^(-1))+/-sqrt(1-2r^(-1)-3r^(-2))]
(20)
=1/2[(1+r^(-1))+/-r^(-1)sqrt((r-3)(r+1))].
(21)

這些解僅在 r>=3 時是 實數，因此這是 2-週期 開始的地方。請注意，2-週期也可以透過計算

(f^2(x)-x)/(f(x)-x)=r^2x^2-r(1+r)x+(1+r)=0,
(22)

的 判別式來找到，即

((1+r)(3-r))/(r^2).
(23)

當它等於 0 時，兩個根重合，因此 r_2=3 是倍週期分岔的開始。對於 n=2，解 (x_1,x_2,r) 由 (0, 0, +/-1) 和 (2/3, 2/3, 3) 給出，因此第一次 分岔 發生在 r_2=3。

通常，可以求解以給出任意 n-週期開始的 n+1 個方程組 (Saha 和 Strogatz 1995) 是

{x_2=rx_1(1-x_1); x_3=rx_2(1-x_2); |; x_n=rx_(n-1)(1-x_(n-1)); x_1=rx_n(1-x_n); r^nproduct_(k=1)^(n)(1-2x_k)=1.
(24)

這些方程組的前 n 個給出 f(x)、f^2(x)、...、f^n(x)，最後一個利用了週期 n 的開始是透過 摺疊分岔 發生的，因此第 n 個 導數 為 1。對於小的 n，這些方程可以精確求解，但複雜度隨著 n 的增加而迅速增加。

現在尋找 3-週期 的開始。為了消除 1-週期，考慮

(f^3(x)-x)/(f(x)-x)=0.
(25)

這給出

1+r+r^2-(r^4+2r^3+2r^2+r)x+(2r^5+3r^4+3r^3+r^2)x^2-(r^6+5r^5+3r^4+r^3)x^3+(3r^6+4r^5+r^4)x^4-(3r^6-r^5)x^5+r^6x^6=0.
(26)

對於小於某個臨界值 r_3 的 r，此方程的 根 都是 虛數，在這一點，其中兩個根變為 實數 根。r_3 的值可以透過計算 (26) 的 判別式來找到，

D=((r^2-5r+7)^2(r^2-2r-7)^3(1+r+r^2)^2)/(r^(30)).
(27)

當 判別式 為零時，兩個根重合。這發生在

r_3=1+2sqrt(2)=3.828427...
(28)

(OEIS A086178) 正如 Myrberg 在 1958 年首次展示的那樣，因此 3-週期 開始於 r_3。Saha 和 Strogatz (1995) 給出了 3-週期的簡化代數處理方法，其中包括求解

r^3(1-2alpha+4beta-8gamma)=1,
(29)

以及其他三個聯立方程，其中

alpha=x_1+x_2+x_3
(30)
beta=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3
(31)
gamma=x_1x_2x_3.
(32)

Bechhoeffer (1996) 和 Gordon (1996) 仍提供了進一步的簡化，但這些技術都不能容易地推廣到更高的 週期。Bechhoeffer (1996) 將這三個附加方程表示為

2alpha=3+r^(-1)
(33)
4beta=3/2+5r^(-1)+3/2r^(-2)
(34)
8gamma=-1/2+7/2r^(-1)+5/2r^(-2)+5/2r^(-3),
(35)

給出

r^2-2r-7=0.
(36)

這具有先前找到的正解，r_3=1+2sqrt(2)。

Gordon (1996) 不僅推匯出了 3-週期 開始的值，還推匯出了一個上限 r^'，用於支援穩定週期 3 軌道的 r-值。該值與 三次方程 的唯一正根 s_1 相關

s^3-11s^2+37s-108=0
(37)

透過

r^'=1+sqrt(s_1),
(38)

這是六次多項式的唯一正 根

r^'=(x^6-6x^5+4x^4+24x^3-14x^2-36x-81)_2
(39)
=3.841499007543...
(40)

(OEIS A086179)。對於 n=3,

(d[f^3(x)])/(dx)=(d[f^3(x)])/(d[f^2(x)])(d[f^2(x)])/(d[f(x)])(d[f(x)])/(dx)
(41)
=(d[f(z)])/(dz)(d[f(y)])/(dy)(d[f(x)])/(dx)
(42)
=r^3(1-2z)(1-2y)(1-2x).
(43)

使用計算機代數求解得到的三次 三次方程 給出

r=1+2sqrt(2)
(44)

以及由下式給出的 x_1、x_2、x_3

343x^6-980x^5+868x^4-134x^3-161x^2+70x-7=0,
(45)

給出數值根

x_1=(343x^6-980x^5+868x^4-134x^3-161x^2+70x-7)_2
(46)
=sqrt(2)-2/7(1-2sqrt(2))[1+cos(2/7pi)-5]
(47)
=0.514355...
(48)
x_2=(343x^6-980x^5+868x^4-134x^3-161x^2+70x-7)_4
(49)
=sqrt(2)-2/7(1-2sqrt(2))[1+cos(4/7pi)-5]
(50)
=0.956318...
(51)
x_3=(343x^6-980x^5+868x^4-134x^3-161x^2+70x-7)_5
(52)
=sqrt(2)-2/7(1-2sqrt(2))[1+cos(6/7pi)-5]
(53)
=0.159929...
(54)
r=3.828427...,
(55)

其中 2+2cos(2/7pi) 是 白銀常數。

為了找到 4-週期 的開始，透過考慮以下因素來消除 2-週期和 1-週期

(f^4(x)-x)/(f^2(x)-x)=0.
(56)

這給出了 x 的 12 階多項式。r_4 的值可以透過計算這個多項式的 判別式來找到，

D=((r^2+1)^3(r^2-4r+5)^3(r^2-2r-5)^2)/(r^(132))(r^6-6r^5+3r^4+28r^3-9r^2-54r-135),
(57)

其唯一的實數正根是

r_4^'=1+sqrt(6)
(58)
=3.449489...
(59)
r_4^('')=1+sqrt(4+3(4^(1/3)))
(60)
=3.906010...
(61)

因此，4-週期 開始於

r_4=1+sqrt(6)=3.449489...
(62)

(OEIS A086180)。

可以透過解析方法找到 5-週期的開始，並給出一個 r 的 22 階多項式，其真實的實數正根是 r_5=3.73817... (OEIS A118452)、3.90557... 和 3.99026....

可以透過解析方法找到 6-週期的開始，並給出一個 r 的 40 階多項式，其真實的實數正根是 r_6=3.62655... (OEIS A118453)、3.93751...、3.97776... 和 3.99758....

可以透過解析方法找到 7-週期的開始，並給出一個 r 的 114 階多項式，其真實的實數正根是 r_7=3.70164... (OEIS A118746)、3.77413...、3.88602...、3.92218...、3.95102...、3.96897...、3.98474...、3.99453... 和 3.99939....

可以透過解析方法找到 8-週期的開始，它是 8 階多項式的 多項式根

r_8=(4913+2108t^2-604t^3-977t^4+8t^5+44t^6+392t^7-193t^8-40t^9+48t^(10)-12t^(11)+t^(12))_3
(63)
=3.54409...
(64)

(OEIS A086181; Bailey 1993; Bailey and Broadhurst 2000; Borwein and Bailey 2003, pp. 51-52)。

最初使用 整數關係 計算找到了 r_(16)=3.564407266095... (OEIS A091517) 處 16-週期的開始，該計算確定 alpha=r_(16)(r_(16)-2) 是一個 120 次 整係數多項式 的根，其係數從 257^(30) 單調遞減到 1 (Bailey 和 Broadhurst 2000; Borwein 和 Bailey 2003, pp. 52-53)。隨後使用計算機代數精確地驗證了這一結果 (Borwein 和 Bailey 2003, p. 53; Kotsireas 和 Karamanos 2004)，並且是一個 240 次的 代數數。

下表總結了 r_n 值，在該值處 n-週期首次出現。對於 n=1、2、...，這些值的代數次數為 1、1、2、2、22、40、114、12、... (OEIS A118454)。

ndeg(r_n)OEIS值
111
213
32A0861783.82842712...
42A0861803.44948974...
522A1184523.73817237...
640A1184533.62655316...
7114A1187463.70164076...
812A0861813.54409035...
9
10
16240A0915173.56440726...

r_(2^n) 值的代數階數（即，2^n-週期的開始）對於 n=1、2、...，因此由 1、2、12、240、... 給出 (OEIS A087046)。下表給出了週期型別和 r_(2^n) 值，在該值處週期 2^n 出現。

n週期 (2^n)r_(2^n)OEIS
123
243.449490A086180
383.544090A086181
4163.564407A091517
5323.568750
6643.56969
71283.56989
82563.569934
95123.569943
1010243.5699451
1120483.569945557
infty累積點3.569945672A098587

有關其他值，請參見 Rasband (1990, p. 23)。請注意，Tabor (1989, p. 222) 中的表格是不正確的，Lauwerier (1991) 中的 n=2 條目也是不正確的。倍週期 分岔 變得越來越快 (8, 16, 32, ...)，然後突然中斷。超過某個被稱為 累積點 的點後，週期性讓位於 混沌，如下所示。在複雜性的中間，由於 模式鎖定，突然出現一個具有規則週期（如 3 或 7）的視窗。3-週期 分岔發生在 r=1+2sqrt(2)=3.828427...，並且 倍週期分岔 然後再次開始，週期為 6、12、... 和 7、14、28、...，然後再次中斷為 混沌。但是，請注意，可以在這種混沌中找到相當大的結構 (Mayoral 和 Robledo 2005ab)。

相對容易證明，對於 r>2+sqrt(5) approx 4.236 (Devaney 1989, pp. 31-50; Gulik 1992, pp. 112-126; Holmgren 1996, pp. 69-85)，logistic map 在不變 Cantor 集 上是 混沌 的，但事實上，對於所有 r>4 (Robinson 1995, pp. 33-37; Kraft 1999)，它也是 混沌 的。

logistic map 具有 關聯指數 0.500+/-0.005 (Grassberger 和 Procaccia 1983)、容量維數 0.538 (Grassberger 1981) 和 資訊維數 0.5170976 (Grassberger 和 Procaccia 1983)。

logistic map 可以用來生成隨機數 (Umeno 1998; Andrecut 1998; Gonzáles 和 Pino 1999, 2000; Gonzáles et al. 2001ab; Wong et al. 2001, Trott 2004, p. 105)。

另請參閱

2x mod 1 對映, 分岔, 費根鮑姆常數, Logistic Map--r=2, Logistic Map--r=2, Logistic Map--r=4, 週期三定理, 二次對映, 白銀常數, 帳篷對映

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H. “多精度 Fortran 程式的翻譯和執行。” ACM 數學軟體彙刊 19, 288-319, 1993。Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. “混沌理論中的分岔點。” §2.3.2 in 實驗數學行動。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 33-36, 2007。Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; 和 Weisstein, E. W. “實驗數學中的十個問題。” 美國數學月刊 113, 481-509, 2006。Bailey, D. H. 和 Broadhurst, D. J. “並行整數關係檢測：技術與應用。” 數學計算 70, 1719-1736, 2000。Bechhoeffer, J. “週期 3 的誕生，再訪。” 數學雜誌 69, 115-118, 1996。Beck, C.; 和 Schlögl, F. 混沌系統熱力學。 英國劍橋: 劍橋大學出版社, 1993。Bogomolny, A. “混沌的創造（混沌中存在秩序）。” http://www.cut-the-knot.org/blue/chaos.shtml。Borwein, J. 和 Bailey, D. “Logistic 迭代中的分岔點。” §2.3 in 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 50-53, 2003。Costa, U. M. S.; Lyra, M. L.; Plastino, A. R.; 和 Tsallis, C. “Logistic 類對映族中對初始條件的冪律敏感性：分形性和非廣延性。” 物理評論 E 56, 245-250, 1997。Devaney, R. 混沌動力系統導論，第 2 版。 Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1989。Dickau, R. M. “分岔圖。” http://mathforum.org/advanced/robertd/bifurcation.html。Elaydi, S. N. 離散混沌。 Boca Raton, FL: Chapman & Hall, 2000。Gleick, J. 混沌：一門新科學的誕生。 紐約: Penguin Books, pp. 69-80, 1988。Gordon, W. B. “Logistic 對映的週期三軌道。” 數學雜誌 69, 118-120, 1996。Grassberger, P. “分形吸引子的 Hausdorff 維數。” 統計物理學雜誌 26, 173-179, 1981。Grassberger, P. 和 Procaccia, I. “測量奇異吸引子的奇異性。” 物理 D 9, 189-208, 1983。Gulick, D. 混沌相遇。 紐約: McGraw-Hill, 1992。Holmgren, R. 離散動力系統第一課程，第 2 版。 紐約: Springer-Verlag, 1996。Mathematica Jaffe, S. “Logistic 方程：可計算的混沌。” http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/579/。Kotsireas, I. S. 和 Karamanos, K. “Logistic 對映的分岔點 b_4 和 Bailey-Broadhurst 猜想的精確計算。” 國際分岔與混沌雜誌 14, 2417-2423, 2004. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/archive_in_pdf/costas-cecm.pdfKraft, R. L. “Logistic 對映的混沌、康託集和雙曲性。” 美國數學月刊 106, 400-408, 1999。Latora, V.; Rapisarda, A.; Tsallis, C.; 和 Baranger, M. “混沌邊緣熵增加率。” 物理快報 A 273, 97, 2000。Lauwerier, H. 分形：無限重複的幾何圖形。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 119-122, 1991。MathPages. “Logistic 對映的閉合形式。” http://www.mathpages.com/home/kmath188.htm。May, R. M. “具有非常複雜動力學的簡單數學模型。” 自然 261, 459-467, 1976。Mayoral, E. 和 Robledo, A. “近期對混沌邊緣奇異動力學的賞析。” 2005 年 1 月 17 日。 http://arxiv.org/abs/cond-mat/0501398。Mayoral, E. 和 Robledo, A. “Tsallis' q 指數和 Mori's q 混沌邊緣的相變。” 物理評論 E 72, 026209, 2005b。Packel, E. 面向數學教師的 Mathematica。 計算研究所, 1996。Pearl, R. 第 18 章 in 人口增長的生物學。 紐約: Knopf, 1978。Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; 和 Saupe, D. 混沌與分形：科學的新領域。 紐約: Springer-Verlag, pp. 585-653, 1992。Quetelet, A. 和 Verhulst, P. F. 比利時皇家科學院年鑑 16, 97-124, 1850。Ramasubramanian, K. 和 Sriram, M. S. “使用不同演算法計算 Lyapunov 譜的比較研究。” 1999 年 9 月 17 日。 http://arxiv.org/abs/chao-dyn/9909029。Rasband, S. N. 非線性系統的混沌動力學。 紐約: Wiley, p. 23, 1990。Robinson, C. 穩定性、符號動力學和混沌。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995。Russell, D. A.; Hanson, J. D.; 和 Ott, E. “奇異吸引子的維度。” 物理評論快報 45, 1175-1178, 1980。Saha, P. 和 Strogatz, S. H. “週期三的誕生。” 數學雜誌 68, 42-47, 1995。Sloane, N. J. A. 序列 A086178, A086179, A086180, A086181, A087046, A091517, A098587, A118452, A118453, A118454, 和 A118746 在“整數序列線上百科全書”中。Strogatz, S. H. 非線性動力學與混沌。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1994。Tabor, M. 非線性動力學中的混沌與可積性：導論。 紐約: Wiley, 1989。Tsallis, C.; Plastino, A. R.; 和 Zheng, W.-M. “對初始條件的冪律敏感性——新的熵表示。” 混沌、孤子與分形 8, 885-891, 1997。Trott, M. Mathematica 程式設計指南。 紐約: Springer-Verlag, pp. 24-25, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/。Wagon, S. “二次對映的動力學。” §4.4 in Mathematica 行動。 紐約: W. H. Freeman, pp. 117-140, 1991。, Inc. “Logistic 對映。” http://documents.wolfram.com/mathematica/Demos/SoundGallery/LogisticMap.html。Wolfram, S. 一種新的科學。 Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 918-921 和 1098, 2002。

在 中被引用

Logistic Map

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “Logistic 對映。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/LogisticMap.html

學科分類