康託集

康託集 ，有時也稱為康託梳或無中三分之一集 (Cullen 1968, pp. 78-81)，是透過取區間 (設為 )，移除中間三分之一的開區間 ()，移除剩餘兩段的中間三分之一 ()，並無限重複此過程而得到的。因此，它是區間 區間 中三進位制展開式不包含 1 的點的集合，如上圖所示。

康託集的第 次迭代在 Wolfram 語言 中實現為CantorMesh[n]。

迭代過程1 -> 101, 0 -> 000從 1 開始得到序列 1, 101, 101000101, 101000101000000000101000101, .... 因此，產生的二進位制位序列是 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, ... (OEIS A088917)，其第 項驚人地由 (mod 3) 給出，其中 是一個（中心）德拉諾數， 是一個 勒讓德多項式 (E. W. Weisstein, 2006 年 4 月 9 日)。此序列的 遞推圖 如上圖所示。

這產生了 集合 實數 使得

(1)

其中對於每個 ， 可以等於 0 或 2。這是一個無限的完美集。第 次迭代中 線段 的總長度為

(2)

線段的數量為 ，因此每個元素的長度為

(3)

且 容量維數 為

			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

(OEIS A102525)。康託集是 無處稠密 的，並且具有 勒貝格測度 0。

一般康託集是由 邊界點 完全組成的閉集。此類集合是 不可數無限 的，並且可能具有 0 或 正 勒貝格測度。康託集是唯一的完全不連通、完美、緊 度量空間，直至 同胚 (Willard 1970)。