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康託集塵

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CantorDustFractal

康託集塵是一種分形，可以使用字串重寫構建，從單元格 [0] 開始並迭代以下規則

{0->[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0],1->[1 0 1; 0 0 0; 1 0 1]}.
(1)

康託集塵的第 n 次迭代在 Wolfram 語言中實現為CantorMesh[n, 2].

設 N_n 為黑色方框的數量，L_n 為方框邊長，A_n 為第 n 次迭代後黑色方框的分數面積，則

N_n=4^n
(2)
L_n=3^(-n)
(3)
A_n=L_n^2N_n
(4)
=(4/9)^n.
(5)

因此，經過 n=0, 1, 2, ... 次迭代後，黑色正方形的數量分別為 1、4、16、64、256、1024、4096、16384、... (OEIS A000302)。因此，容量維度為

d_(cap)=-lim_(n->infty)(lnN_n)/(lnL_n)
(6)
=log_34
(7)
=(2ln2)/(ln3)
(8)
=1.261859.
(9)

另請參閱

盒分形, 康託集, 康託正方形分形, 哈弗曼地毯, 謝爾賓斯基地毯, 謝爾賓斯基篩

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參考文獻

Broden, J.; Espinosa, M.; Nazareth, N.; and Voth, N. "分形內部的結。" 5 Sep 2024. https://arxiv.org/abs/2409.03639.Dickau, R. M. "康託集塵。" http://mathforum.org/advanced/robertd/cantor.html.Mandelbrot, B. B. 大自然的分形幾何。 New York: W. H. Freeman, p. 80, 1983.Ott, E. 動力系統中的混沌。 New York: Cambridge University Press, pp. 103-104, 1993.Sloane, N. J. A. Sequences A000302/M3518 and A100831 in "整數序列線上百科全書"。

在 中被引用

康託集塵

請引用為

Weisstein, Eric W. "康託集塵。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/CantorDust.html

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