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謝爾賓斯基地毯

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SierpinskiCarpet

謝爾賓斯基地毯是如上所示的分形，它可以類似於謝爾賓斯基篩子構建，但使用正方形而不是三角形。它可以使用字串重寫構建，從一個單元格 [1] 開始並迭代規則

{0->[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0],1->[1 1 1; 1 0 1; 1 1 1]}.
(1)

謝爾賓斯基地毯的第 n 次迭代在 Wolfram 語言中實現為MengerMesh[n].

設 N_n 為黑色方塊的數量，L_n 為白色方塊邊長，A_n 為第 n 次迭代後黑色方塊的分數面積。則

N_n=8^n
(2)
L_n=3^(-n)
(3)
A_n=L_n^2N_n
(4)
=(8/9)^n.
(5)

因此，經過 n=0, 1, 2, ... 次迭代後，黑色單元格的數量分別為 1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, ... (OEIS A001018)。因此，容量維度為

d_(cap)=-lim_(n->infty)(lnN_n)/(lnL_n)
(6)
=log_38
(7)
=(3ln2)/(ln3)
(8)
=1.892789260...
(9)

(OEIS A113210)。

另請參閱

盒形分形, 康託塵, 康託正方形分形, 德蘭諾數, 哈弗曼地毯, 門格海綿, 謝爾賓斯基地毯圖, 謝爾賓斯基篩子

使用 探索

參考文獻

Allouche, J.-P. 和 Shallit, J. "謝爾賓斯基地毯。" §14.1 in Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 405-407, 2003.Broden, J.; Espinosa, M.; Nazareth, N.; 和 Voth, N. "分形內部的結。" 2024 年 9 月 5 日。 https://arxiv.org/abs/2409.03639.Dickau, R. M. "謝爾賓斯基地毯。" http://mathforum.org/advanced/robertd/carpet.html.Gleick, J. 混沌：建立一門新科學。 New York: Penguin Books, p. 101, 1988.Mandelbrot, B. B. 大自然的分形幾何。 New York: W. H. Freeman, p. 144, 1983.Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; 和 Saupe, D. 混沌與分形：科學的新前沿。 New York: Springer-Verlag, p. 144, 1992.Reiter, C. A. "謝爾賓斯基分形和 GCD。" Computers and Graphics 18, 885-891, 1994.Sierpiński, W. "關於包含任何給定曲線圖像的曲線。" Mat. Sbornik 30, 267-287, 1916. Reprinted in Oeuvres Choisies, Vol. 2, pp. 107-119.Sloane, N. J. A. 序列 A001018 和 A113210 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中引用

謝爾賓斯基地毯

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "謝爾賓斯基地毯。" 來自 -- Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/SierpinskiCarpet.html

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