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康託函式

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CantorFunction

康託函式 F(x) 是在 [0,1] 上連續但非絕對連續的函式，其定義如下。首先，將 x 用三進位制表示。如果得到的三進位制數字字串包含數字 1，則將 1 之後的所有三進位制數字替換為 0。接下來，將所有 2 替換為 1。最後，將結果解釋為二進位制數，即得到 F(x)。

康託函式是 魔鬼階梯 的一個特例 (Devaney 1987, p. 110)，可以擴充套件為函式 F_q，對於 q>2，其中 q=3 對應於通常的康託函式 (Gorin and Kukushkin 2004)。

Chalice (1991) 表明，任何實值函式 F(x) 在 [0,1] 上是 單調遞增 且滿足

1. F(0)=0,

2. F(x/3)=F(x)/2,

3. F(1-x)=1-F(x)

的是康託函式 (Chalice 1991; Wagon 2000, p. 132)。

Gorin 和 Kukushkin (2004) 給出了顯著的恆等式

I_q(n)=int_0^1[F_q(t)]^ndt =1/(n+1)-(q-2)sum_(k=1)^(|_n/2_|)(n; 2k)(2^(2k-1)-1)/(q·2^(2k-1)-1)(B_(2k))/(n-2k+1)

對於整數 n。對於 q=3 和 n=1, 2, ..., 這給出了前幾個值為 1/2, 3/10, 1/5, 33/230, 5/46, 75/874, ... (OEIS A095844 和 A095845)。

M. Trott (私人通訊，2004年6月8日) 指出

int_0^1[F(t)]^(F(t))dt approx 0.750387...

(OEIS A113223)，這似乎略大於 3/4。

另請參閱

康託集, 魔鬼階梯

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, p. 237, 2007.Chalice, D. R. "A Characterization of the Cantor Function." Amer. Math. Monthly 98, 255-258, 1991.Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1987.Gorin, E. A. and Kukushkin, B. N. "Integrals Related to the Cantor Function." St. Petersburg Math. J. 15, 449-468, 2004.Sloane, N. J. A. Sequences A095844, A095845, A113223 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wagon, S. "The Cantor Function" and "Complex Cantor Sets." §5.2 and 5.3 in Mathematica in Action, 2nd ed. New York: W. H. Freeman, pp. 132-138, 2000.

在 中被引用

康託函式

引用為

Weisstein, Eric W. "康託函式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/CantorFunction.html

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