魔鬼階梯

對映卷繞數 的圖，，由 鎖模 產生，作為 的函式，對於 圓對映

(1)

，其中 。(由於 圓對映 變為 鎖模，對映卷繞數 與初始起始引數 無關。) 在每個 值處，對映卷繞數 是一些 有理數。結果是一個單調遞增的“階梯”，其中最簡單的 有理數 具有最大的步長。魔鬼階梯連續地將區間 對映到 上，但在幾乎所有地方都是常數（即，除了在 康託集 上）。

對於 ， 軸上準週期狀態（ 無理數）的測度 已變為零，鎖模 狀態的測度已變為 1。魔鬼階梯的 維數 。

另一種魔鬼階梯出現在總和中

(2)

對於 ，其中 是 向下取整函式 (Böhmer 1926ab; Kuipers and Niederreiter 1974, p. 10; Danilov 1974; Adams 1977; Davison 1977; Bowman 1988; Borwein and Borwein 1993; Bowman 1995; Bailey and Crandall 2001; Bailey and Crandall 2003)。此函式是單調遞增的，並且在每個無理數 處連續，但在每個有理數 處不連續。 是無理數 當且僅當 是無理數，並且如果 是無理數，則 是超越數。如果 是有理數，則

(3)

而如果 是無理數，

(4)

更令人驚訝的是，對於無理數 ，其 簡單連分數 為 ，收斂子 為 ，

(5)

其中

(6)

(Bailey 和 Crandall 2001)。這給出了與 兔子常數 的美妙關係

(7)

其中 是 黃金比例， 是 斐波那契數。