圓對映

圓對映是一個將圓對映到自身的一維對映

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其中 是以模 1 計算的， 是一個常數。請注意，圓對映有兩個引數： 和 。 可以解釋為外部施加的頻率，而 可以解釋為非線性的強度。如上所示，圓對映表現出非常出乎意料的引數函式行為。

它與標準對映相關

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對於 和 以模 1 計算。將 寫成

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得到圓對映，其中 和 。

圓對映的一維雅可比矩陣是

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因此圓對映不是保面積的。

未擾動的圓對映具有以下形式

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如果 是有理數，那麼它被稱為對映對映卷繞數，定義為

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並暗示週期性軌跡，因為 將（最多）每 對映軌道 返回到同一點。如果 是無理數，那麼運動是準週期性的。如果 是非零，那麼在每個有理數 周圍的某個有限區域內，運動可能是週期性的。這種響應於無理數強迫的週期性運動執行被稱為模式鎖定。

如果繪製 與 的關係圖，並在 有理數 值（對映卷繞數）周圍繪製週期性模式鎖定引數空間區域，則會看到這些區域從 處的 0 向上擴充套件到 處的某個有限寬度。圍繞每個有理數的區域被稱為阿諾德舌。在 時，阿諾德舌是一個孤立的測度為零的集合。在 時，它們形成一個康託集，其維數為 。對於 ，舌頭重疊，圓對映變得不可逆。

令 是具有對映卷繞數 的迴圈的圓對映的引數值，該迴圈以角度 透過，其中 是一個斐波那契數。那麼引數值 以以下速率累積

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（Feigenbaumet al. 1982）。