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標準對映

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一個二維對映，在一些較早的文獻中也稱為 Taylor-Greene-Chirikov 對映，定義為

I_(n+1)=I_n+Ksintheta_n
(1)
theta_(n+1)=theta_n+I_(n+1)
(2)
=I_n+theta_n+Ksintheta_n,
(3)

其中 I 和 theta 是以 2pi 為模計算的，K 是一個正常數。上面展示了常數 K 不同值的截面。

混沌區域寬度的解析估計 (Chirikov 1979) 發現

deltaI=Be^(-AK^(-1/2)).
(4)

數值實驗給出 A approx 5.26 和 B approx 240。全域性混沌發生的 K 值已被多位作者限定。格林方法是迄今為止設計的最精確的方法。

作者界限精確近似
Hermann>1/(34)0.029411764
Celletti 和 Chierchia (1995)>(419)/(500)0.838
Greene approx -0.971635406
MacKay 和 Percival (1985)<(63)/(64)0.984375000
Mather<4/31.333333333

不動點 透過要求以下條件找到

I_(n+1)=I_n
(5)
theta_(n+1)=theta_n.
(6)

第一個給出 Ksintheta_n=0，所以 sintheta_n=0 且

theta_n=0,pi.
(7)

第二個要求給出

I_n+Ksintheta_n=I_n=0.
(8)

因此，不動點是 (I,theta)=(0,0) 和 (0,pi)。為了進行線性穩定性分析，取變數的微分

dI_(n+1)=dI_n+Kcostheta_ndtheta_n
(9)
dtheta_(n+1)=dI_n+(1+Kcostheta_n)dtheta_n.
(10)

以矩陣形式，

[deltaI_(n+1); deltatheta_(n+1)]=[1 Kcostheta_n; 1 1+Kcostheta_n][deltaI_n; deltatheta_n].
(11)

特徵值透過求解特徵方程找到

|1-lambda Kcostheta_n; 1 1+Kcostheta_n-lambda|=0,
(12)

所以

lambda^2-lambda(Kcostheta_n+2)+1=0
(13)
lambda_+/-=1/2[Kcostheta_n+2+/-sqrt((Kcostheta_n+2)^2-4)].
(14)

對於不動點 (0,pi)，

lambda_+/-^((0,pi))=1/2[2-K+/-sqrt((2-K)^2-4)]
(15)
=1/2(2-K+/-sqrt(K^2-4K)).
(16)

如果 |R(lambda^((0,pi)))|<2.，不動點將是穩定的。這裡，這意味著

1/2|2-K|<1
(17)
|2-K|<2
(18)
-2<2-K<2
(19)
-4<-K<0
(20)

所以 K in [0,4)。對於不動點 (0, 0)，特徵值是

lambda_+/-^((0,0))=1/2[2+K+/-sqrt((K+2)^2-4)]
(21)
=1/2(2+K+/-sqrt(K^2+4K)).
(22)

如果對於較大的特徵值對映是不穩定的，那麼它就是不穩定的。因此，檢查 lambda_+^((0,0))。我們有

1/2|2+K+sqrt(K^2+4K)|<1,
(23)

所以

-2<2+K+sqrt(K^2+4K)<2
(24)
-4-K<sqrt(K^2+4K)<-K.
(25)

但是 K>0，所以不等式的第二部分不可能為真。因此，對映在不動點 (0, 0) 處是不穩定的。

另請參閱

Hénon-Heiles 方程

使用 探索

參考文獻

Celletti, A. and Chierchia, L. "A Constructive Theory of Lagrangian Tori and Computer-Assisted Applications." Dynamics Rep. 4, 60-129, 1995.Chirikov, B. V. "A Universal Instability of Many-Dimensional Oscillator Systems." Phys. Rep. 52, 264-379, 1979.MacKay, R. S. and Percival, I. C. "Converse KAM: Theory and Practice." Comm. Math. Phys. 98, 469-512, 1985.Rasband, S. N. "The Standard Map." §8.5 in Chaotic Dynamics of Nonlinear Systems. New York: Wiley, pp. 11 and 178-179, 1990.Tabor, M. "The Hénon-Heiles Hamiltonian." §4.2.r in Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, pp. 134-135, 1989.

在 中被引用

標準對映

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. "標準對映。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/StandardMap.html

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