混沌

“混沌”是一個難以定義的概念。事實上，列舉一個被描述為“混沌”的系統所具有的性質，比給出一個精確的混沌定義要容易得多。

格萊克（Gleick，1988年，第306頁）指出，“（他採訪的混沌科學家中）沒有人能夠完全就這個詞[的定義]達成一致”，因此他給出了一些該領域從業者的描述。例如，他引用菲利普·霍姆斯（Philip Holmes）（顯然是在定義“混沌”）的話說，“某些，通常是低維動力系統的複雜非週期吸引軌道”。同樣，他引用郝柏林（Bai-Lin Hao）對混沌（大致）的描述為“一種沒有周期性的秩序”。

事實證明，即使是專門討論混沌的教科書也沒有真正定義這個術語。例如，威金斯（Wiggins，1990年，第437頁）說，“在一個閉合不變集（由多個軌道組成）上顯示對初始條件敏感依賴性的動力系統將被稱為混沌的”。塔博爾（Tabor，1989年，第34頁）說，“對於確定性方程的混沌解，我們指的是其結果對初始條件非常敏感（即，初始條件的微小變化會導致結果的巨大差異），並且其在相空間中的演化看起來非常隨機的解。” 最後，拉斯班德（Rasband，1990年，第1頁）說，“‘混沌’這個詞的使用意味著對系統的某些觀察，可能是透過測量，並且這些觀察或測量結果不可預測地變化。當沒有可辨別的規律或秩序時，我們通常說觀察是混沌的。”

因此，描述混沌的一種簡單但略有不精確的方式是“混沌系統的特點是對初始條件的敏感依賴性以及在相空間中的演化看起來非常隨機”。

特別地，一個混沌動力系統通常具有以下特徵：

1. 具有一個稠密的具有周期軌道的點集，

2. 對系統的初始條件敏感（因此最初鄰近的點可以快速演變成非常不同的狀態），這種性質有時被稱為蝴蝶效應，以及

3. 是拓撲傳遞的。

然而，應該注意的是，儘管混沌看起來“隨機”，但它是一種確定性的演化。此外，存在沒有周期軌道的混沌系統（週期軌道僅在KAM環面的邊界上存在，並且對於來自可積情況的足夠強烈的擾動，島嶼不一定存在）。此外，在所謂的量子混沌中，軌跡不會指數發散，因為它們受到整個演化必須是么正的這一事實的約束。

規則行為和混沌行為之間的邊界通常以倍週期分岔為特徵，然後是四倍週期分岔等等，儘管也可能存在其他通往混沌的路徑（Abarbanel et al. 1993; Hilborn 1994; Strogatz 1994, pp. 363-365）。

一個顯示混沌行為的簡單物理系統的例子是磁擺在一個包含兩個或多個吸引磁鐵的平面上的運動。擺最終靜止在哪個磁鐵上方（由於摩擦阻尼）高度依賴於擺的起始位置和速度（Dickau）。另一個這樣的系統是雙擺（一個末端連線另一個擺的擺）。

M. 塔博爾（Tabor）和F. 卡洛傑羅（Calogero）提倡將混沌解釋為在黎曼曲面上的運動（Tabor and Weiss 1981, Fournier et al. 1988, Bountis et al. 1993, Bountis 1995）。