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Hénon-Heiles 方程

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Hénon-Heiles 方程是一個非線性不可積的 哈密頓系統，其具有

x^..=-(partialV)/(partialx)
(1)
y^..=-(partialV)/(partialy),
(2)

其中勢能函式由極座標方程定義

V(r,theta)=1/2r^2+1/3r^3sin(3theta),
(3)

給出笛卡爾勢

V(x,y)=1/2(x^2+y^2+2x^2y-2/3y^3).
(4)

系統的總能量由下式給出

E=V(x,y)+1/2(x^.^2+y^.^2),
(5)

在運動過程中是守恆的。

HenonHeilesODE

從任意起點積分上述耦合常微分方程，初始條件為 x(t=0)=0 和 E=1/8，得到如上所示的運動。

HenonHeiles

上面展示了不同初始能量 E 下的截面，在 y(t) 相對於 y^.(t) 的圖，在 x(t)=0 的值處。

廣義 Hénon-Heiles 勢的哈密頓量是

H=1/2(p_x^2+p_y^2+Ax^2+By^2)+Dx^2y-1/3Cy^3.
(6)

運動方程僅在以下情況下可積

1. D/C=0,

2. D/C=-1,A/B=1,

3. D/C=-1/6，以及

4. D/C=-1/16,A/B=1/6.

HenonHeilesModes

上面的圖顯示了具有廣義 Hénon-Heiles 勢的薛定諤方程的一些本徵函式

V(r,theta)=r^4+ar^2+br^3cos(3theta)
(7)

對於 (a,b) 的某些特定值 (M. Trott, 私人通訊, 2004年1月6日)。

另請參閱

標準對映, 截面

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參考文獻

Gleick, J. Chaos: Making a New Science. New York: Penguin Books, pp. 144-153, 1988.Hénon, M. and Heiles, C. "The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments." Astron. J. 69, 73-79, 1964.Rasband, S. N. Chaotic Dynamics of Nonlinear Systems. New York: Wiley, pp. 171-172, 1990.Tabor, M. "The Hénon-Heiles Hamiltonian." §4.1.b in Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, pp. 121-122, 1989.Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Hénon-Heiles Eigenfunctions." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#S_2_01.

在 中被引用

Hénon-Heiles 方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "Hénon-Heiles 方程。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Henon-HeilesEquation.html

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