柯爾莫哥洛夫-阿諾爾德-莫澤定理

柯爾莫哥洛夫 (1954) 概述的一個定理，隨後在 1960 年代由阿諾爾德 (1963) 和莫澤 (1962；Tabor 1989，第 105 頁) 證明。它給出了混沌在何種程度上受到限制的條件。莫澤 1962 年的證明對扭轉對映有效

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阿諾爾德 (1963) 給出了哈密頓系統的證明

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最初的定理要求微擾 ，儘管此後這一數值已顯著提高。阿諾爾德的證明要求 ，而莫澤最初的證明要求 。隨後，莫澤的版本已降至 ，然後是 ，儘管已知 的反例。KAM 定理的適用條件是

1. 小微擾，

2. 光滑微擾，以及

3. 充分無理的對映繞數。

莫澤考慮了一個可積哈密頓函式 ，它具有環面 和一組頻率 ，omega 具有不可公度的頻率向量 (即，對於所有整數 ，)。設 受到某個週期函式 的微擾。KAM 定理指出，如果 足夠小，那麼對於幾乎每個 ，都存在受擾系統的不變環面 ，使得 “接近” 。此外，環面 形成一個正測度集，其補集的測度隨著 趨於零。KAM 定理的一個有用的解釋是：“對於足夠小的微擾，幾乎所有環面（排除那些具有有理頻率向量的環面）都得以保留。” 因此，該定理明確排除了具有有理相關頻率的環面，即，n-1 個形式的條件

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這些環面會被微擾破壞。對於具有兩個自由度的系統，閉合軌道的條件是

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對於準週期對映軌道， 是無理數。KAM 表明，保留的環面滿足無理數條件

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對於所有 和 ，儘管關於 知之甚少。

KAM 定理打破了經典微擾理論中小除數問題的僵局，併為理解混沌的出現提供了起點。對於哈密頓系統，等能非退化條件

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保證了在小微擾 下大多數不變環面的保留。阿諾爾德版本指出

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對於所有 屬於 Z。此條件比莫澤的條件限制性更小，因此排除的點更少。