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線性穩定性

考慮兩個一階常微分方程的一般系統

x^.=f(x,y)
(1)
y^.=g(x,y).
(2)

令 x_0 和 y_0 表示固定點，其中 x^.=y^.=0，因此

f(x_0,y_0)=0
(3)
g(x_0,y_0)=0.
(4)

然後圍繞 (x_0,y_0) 展開，因此

deltax^.=f_x(x_0,y_0)deltax+f_y(x_0,y_0)deltay+f_(xy)(x_0,y_0)deltaxdeltay+...
(5)
deltay^.=g_x(x_0,y_0)deltax+g_y(x_0,y_0)deltay+g_(xy)(x_0,y_0)deltaxdeltay+....
(6)

一階近似，得到

d/(dt)[deltax; deltay]=[f_x(x_0,y_0) f_y(x_0,y_0); g_x(x_0,y_0) g_y(x_0,y_0)][deltax; deltay],
(7)

其中 2×2 矩陣 稱為穩定性矩陣。

一般而言，給定一個 n 維對映 x^'=T(x)，令 x_0 為一個固定點，使得

T(x_0)=x_0.
(8)

圍繞固定點展開，

T(x_0+deltax)=T(x_0)+(partialT)/(partialx)deltax+O(deltax)^2
(9)
=T(x_0)+deltaT,
(10)

因此

deltaT=(partialT)/(partialx)deltax=Adeltax.
(11)

透過找到矩陣 A 的特徵向量和特徵值，可以將對映變換到主軸座標系。

(A-lambdaI)deltax=0,
(12)

因此行列式

|A-lambdaI|=0.
(13)

對映是

deltax_(princ)^'=[lambda_1 ... 0; | ... |; 0 ... lambda_n].
(14)

當迭代多次時，deltaT_(princ)^'->0 僅當對於所有 R[lambda_i]<0 i 時，但如果任何 R[lambda_i]>0 則 deltaT_(princ)^'->infty。因此，對 A 的特徵值（和特徵向量）的分析表徵了固定點的型別。

另請參閱

固定點，李雅普諾夫函式，非線性穩定性，穩定性矩陣

使用 探索

參考資料

Tabor, M. "線性穩定性分析。" §1.4 in 非線性動力學中的混沌與可積性：導論。 紐約：Wiley，第 20-31 頁，1989 年。

在 中引用

線性穩定性

引用為

Weisstein, Eric W. "線性穩定性。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LinearStability.html

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