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李雅普諾夫函式

李雅普諾夫函式是一個定義在區域 D 上的標量函式 V(y)，它是連續的，正定的，(V(y)>0 對於所有 y!=0)，並且在 D 的每一點都具有連續的一階偏導數。 V 關於系統 y^'=f(y) 的導數，記為 V^*(y)，定義為點積

V^*(y)=del V(y)·f(y).
(1)

對於某個包含原點的區域 D，如果存在一個李雅普諾夫函式使得 V^*(y)<=0，則保證了 y^'=f(y) 的零解的穩定性；而對於某個包含原點的區域 D，如果存在一個李雅普諾夫函式使得 V^*(y) 是負定的，則保證了 y^'=f(y) 的零解的漸近穩定性。

例如，給定系統

y^'=z
(2)
z^'=-y-2z
(3)

以及李雅普諾夫函式 V(y,z)=(y^2+z^2)/2，我們得到

V^*(y,z)=yz+z(-y-2z)=-2z^2,
(4)

這在每個包含原點的區域上都是非遞增的，因此零解是穩定的。

另請參閱

線性穩定性, 非線性穩定性

此條目由 Martin Keller-Ressel 貢獻

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參考文獻

Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th 版. New York: Wiley, pp. 502-512, 1992.Brauer, F. and Nohel, J. A. The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations: An Introduction. New York: Dover, 1989.Hahn, W. Theory and Application of Liapunov's Direct Method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1963.Jordan, D. W. and Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations. Oxford, England: Clarendon Press, p. 283, 1977.Kalman, R. E. and Bertram, J. E. "Control System Analysis and Design Via the 'Second Method' of Liapunov, I. Continuous-Time Systems." J. Basic Energ. Trans. ASME 82, 371-393, 1960.Oguztöreli, M. N.; Lakshmikantham, V.; and Leela, S. "An Algorithm for the Construction of Liapunov Functions." Nonlinear Anal. 5, 1195-1212, 1981.Zwillinger, D. "Liapunov Functions." §120 in Handbook of Differential Equations, 3rd 版. Boston, MA: Academic Press, pp. 429-432, 1997.

在 上被引用

李雅普諾夫函式

請引用為

Keller-Ressel, Martin. “李雅普諾夫函式。” 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/LyapunovFunction.html

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