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閔可夫斯基問號函式

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MinkowskiQuestionMark

閔可夫斯基問號函式是由閔可夫斯基定義的函式 y=?(x)，其目的是將 二次不盡根 中的 開區間 (0,1) 對映到 (0,1) 的有理數，以連續且保序的方式。?(x) 取一個具有 連分數 x=[0;a_1,a_2,a_3,...] 的數，對映到數字

?(x)=sum_(k)((-1)^(k-1))/(2^((a_1+...+a_k)-1)).
(1)

它在 Wolfram Language 中實現為MinkowskiQuestionMark[x]。

該函式滿足以下性質 (Salem 1943)。

1. ?(x) 是嚴格遞增的。

2. 如果 x 是有理數，則 ?(x) 的形式為 k/2^s，其中 k 和 s 是整數。

3. 如果 x 是 二次不盡根，則連分數是週期性的，因此 ?(x) 是有理數。

4. 該函式是純奇異的 (Denjoy 1938)。

?(x) 也可以構造為

?((p+p^')/(q+q^'))=(?(p/q)+?(p^'/q^'))/2,
(2)

其中 p/q 和 p^'/q^' 是來自 法雷數列 的兩個連續不可約分數。在此定義的第 n 階段，?(x) 為 2^n+1 個 x 值定義，並且對應於這些值的縱座標是 x=k/2^n，其中 k=0, 1, ..., 2^n (Salem 1943)。

該函式滿足以下恆等式

?(1/(k^n))=1/(2^(k^n-1)).
(3)

一些特殊值包括

?(0)=0
(4)
?(1/3)=1/4
(5)
?(1/2)=1/2
(6)
?(phi-1)=2/3
(7)
?(2/3)=3/4
(8)
?(1/2sqrt(2))=4/5
(9)
?(1/2sqrt(3))=(84)/(85)
(10)
?(1)=1,
(11)

其中 phi 是 黃金比例。

存在 ?(x) 的四個 不動點 (mod 1)，即 x=0, 1/2, f 和 1-f，其中 f<1/2 是 閔可夫斯基-鮑爾常數 (Finch 2003, pp. 441-443) f=0.42037... (OEIS A048819)。

連分數中具有較大項的 x 值會導致 ?(x) 具有大段重複的 0 或 9 (E. Pegg, Jr., 私人通訊, 1 月 5 日, 2023)。一些例子包括

?(6^(1/3))=1.9530189847656249...9_()_(142)6...
(12)
?(20^(1/3))=2.81250...0_()_(43)2...
(13)
?(pi)=3.1562476158142089843749...9_()_(72)8....
(14)

另請參閱

魔鬼階梯, 法雷數列, 閔可夫斯基-鮑爾常數

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 237-238, 2007.Conway, J. H. "Contorted Fractions." On Numbers and Games, 2nd ed. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 82-86 (1st ed.), 2000.Denjoy, A. "Sur une fonction réelle de Minkowski." J. Math. Pures Appl. 17, 105-155, 1938.Finch, S. R. "Minkowski-Bower Constant." §6.9 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 441-443, 2003.Girgensohn, R. "Constructing Singular Functions via Farey Fractions." J. Math. Anal. Appl. 203, 127-141, 1996.Kinney, J. R. "Note on a Singular Function of Minkowski." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 788-794, 1960.Minkowski, H. "Zur Geometrie der Zahlen." in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 2. New York: Chelsea, pp. 44-52, 1991.Salem, R. "On Some Singular Monotone Functions which Are Strictly Increasing." Trans. Amer. Math. Soc. 53, 427-439, 1943.Sloane, N. J. A. Sequence A048819 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Tichy, R. 和 Uitz, J. "An Extension of Minkowski's Singular Functions." Appl. Math. Lett. 8, 39-46, 1995.Viader, P.; Paradis, J.; 和 Bibiloni, L. "A New Light on Minkowski's ?(x) Function." J. Number Th. 73, 212-227, 1998.Yakubovich, S. "The Affirmative Solution to Salem's Problem Revisited." 2014 年 12 月 31 日。 http://arxiv.org/abs/1501.00141.

在 中被引用

閔可夫斯基問號函式

請引用為

Weisstein, Eric W. “閔可夫斯基問號函式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MinkowskisQuestionMarkFunction.html

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