主題
Search

費雷數列

費雷數列 F_n 對於任何正整數 n 是不可約有理數 a/b 的集合，其中 0<=a<=b<=n 且 (a,b)=1，按遞增順序排列。前幾個是

F_1={0/1,1/1}
(1)
F_2={0/1,1/2,1/1}
(2)
F_3={0/1,1/3,1/2,2/3,1/1}
(3)
F_4={0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1}
(4)
F_5={0/1,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,1/1}
(5)

(OEIS A006842 和 A006843)。除了 F_1，每個 F_n 都有奇數個項，中間項始終是 1/2。

令 p/q、p^'/q^' 和 p^('')/q^('') 為費雷級數中的三個連續項。那麼

qp^'-pq^'=1
(6)
(p^')/(q^')=(p+p^(''))/(q+q^('')).
(7)

這兩個陳述實際上是等價的 (Hardy and Wright 1979, p. 24)。對於從現有 n 項的序列計算連續序列的方法，當 c+d<=n 時，在項 a/c 和 b/d 之間插入中值分數 (a+b)/(c+d) (Hardy and Wright 1979, pp. 25-26; Conway and Guy 1996; Apostol 1997)。給定 0<=a/b<c/d<=1 且 bc-ad=1，令 h/k 為 a/b 和 c/d 的中值。那麼 a/b<h/k<c/d，並且這些分數滿足單模關係

bh-ak=1
(8)
ck-dh=1
(9)

(Apostol 1997, p. 99)。

對於整數 n，費雷數列中項的數量 N(n) 是

N(n)=1+sum_(k=1)^(n)phi(k)
(10)
=1+Phi(n),
(11)

其中 phi(k) 是尤拉函式，Phi(n) 是 phi(k) 的尤拉總計函式，給出 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, ... (OEIS A005728)。函式 N(n) 的漸近極限是

N(n)∼(3n^2)/(pi^2)=0.3039635509...n^2
(12)

(OEIS A104141; Vardi 1991, p. 155)。

福特圓 提供了一種視覺化費雷數列的方法。費雷數列 F_n 定義了 Stern-Brocot 樹 的一個子樹，透過修剪不需要的分支獲得 (Graham et al. 1994)。

電視犯罪劇 NUMB3RS 的第二季劇集 "Bettor or Worse" (2006) 以費雷數列為特色。

參見

福特圓, 中值, 明科夫斯基問號函式, 序列秩, Stern-Brocot 樹

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. "Farey Fractions." §5.4 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 97-99, 1997.Beiler, A. H. "Farey Tails." Ch. 16 in Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. New York: Dover, 1966.Bogomolny, A. "Farey Series, A Story." http://www.cut-the-knot.org/blue/FareyHistory.shtml.Conway, J. H. and Guy, R. K. "Farey Fractions and Ford Circles." The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 152-154 and 156, 1996.Devaney, R. "The Mandelbrot Set and the Farey Tree, and the Fibonacci Sequence." Amer. Math. Monthly 106, 289-302, 1999.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 155-158, 2005.Farey, J. "On a Curious Property of Vulgar Fractions." London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 47, 385, 1816.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 118-119, 1994.Guy, R. K. "Mahler's Generalization of Farey Series." §F27 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 263-265, 1994.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Farey Series and a Theorem of Minkowski." Ch. 3 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 23-37, 1979.Sloane, N. J. A. Sequences A005728/M0661, A006842/M0041, A006843/M0081, and A104141 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sylvester, J. J. "On the Number of Fractions Contained in Any Farey Series of Which the Limiting Number is Given." London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. (5th Series) 15, 251, 1883.Vardi, I. Computational Recreations in Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 155, 1991.

在 上引用

費雷數列

引用為

Weisstein, Eric W. "費雷數列。" 來自 -- 資源。 https://mathworld.tw/FareySequence.html

主題分類