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福特圓

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FordCircles

選擇任意兩個互質 整數 h 和 k，則圓 C(h,k) 的半徑 1/(2k^2) 中心位於 (h/k,+/-1/(2k^2)) 被稱為福特圓。無論選擇多少 h 和 k，福特圓都不會相交（並且都與 x-軸相切）。這可以透過檢查中心分別為 (h,k) 和 (h^',k^') 的圓之間距離的平方來理解，

d^2=((h^')/(k^')-h/k)^2+(1/(2k^('2))-1/(2k^2))^2.
(1)

設 s 為半徑之和

s=r_1+r_2=1/(2k^2)+1/(2k^('2)),
(2)

則

d^2-s^2=((h^'k-hk^')^2-1)/(k^2k^('2)).
(3)

但 (h^'k-k^'h)^2>=1，所以 d^2-s^2>=0 且圓心之間的距離 >= 圓 半徑之和，當且僅當 |h^'k-k^'h|=1 時等號成立（因此相切）。福特圓與法雷數列有關 (Conway and Guy 1996)。

FordCirclesIntersection

如果 h_1/k_1、h_2/k_2 和 h_3/k_3 是法雷數列中三個連續的項，則圓 C(h_1,k_1) 和 C(h_2,k_2) 在以下位置相切

alpha_1=((h_2)/(k_2)-(k_1)/(k_2(k_2^2+k_1^2)),1/(k_2^2+k_1^2))
(4)

並且圓 C(h_2,k_2) 和 C(h_3,k_3) 交於

alpha_2=((h_2)/(k_2)+(k_3)/(k_2(k_2^2+k_3^2)),1/(k_2^2+k_3^2)).
(5)

此外，alpha_1 位於以 (h_1/k_1,0)-(h_2/k_2,0) 為直徑的半圓的圓周上，alpha_2 位於以 (h_2/k_2,0)-(h_3/k_3,0) 為直徑的半圓的圓周上 (Apostol 1997, p. 101)。

另請參閱

相鄰分數, 阿波羅墊片, 法雷數列, Stern-Brocot 樹

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. "福特圓。" §5.5 in 數論中的模函式與狄利克雷級數，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 99-102, 1997.Conway, J. H. and Guy, R. K. "法雷分數和福特圓。" 數之書。 New York: Springer-Verlag, pp. 152-154, 1996.Ford, L. R. "分數。" Amer. Math. Monthly 45, 586-601, 1938.Pickover, C. A. "分形奶昔與無限射箭。" Ch. 14 in 通往無限的鑰匙。 New York: W. H. Freeman, pp. 117-125, 1995.Rademacher, H. 從初等觀點看高等數學。 Boston, MA: Birkhäuser, 1983.

在 中被引用

福特圓

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “福特圓。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/FordCircle.html

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