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三進位制

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使用數字 0、1 和 2 的 基數-3 計數方法。三進位制數出現在許多數學問題中，包括一些稱重問題。然而，根據 Knuth (1998) 的說法，“平衡三進位制記數法尚未得到實質性應用”（平衡三進位制使用數字 -1、0 和 1，而不是 0、1 和 2）。

Ternary

上面的圖示顯示了數字 0 到 25 的三進製圖形表示，下表給出了前幾個十進位制數的三進位制等價值。連續數字 0、1、2、3、... 的三進位制數字的連線給出 (0), (1), (2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), ... (OEIS A054635)。

111110221210
221211022211
3101311123212
4111411224220
5121512025221
6201612126222
72117122271000
82218200281001
910019201291002
1010120202301010

三進位制數字具有以下乘法表。

×012
0000
1012
20211

三進製表示可以用於唯一標識全域細胞自動機規則，其中三種顏色（白色、灰色和黑色）對應於三個數字 0、1 和 2（Wolfram 2002，pp. 60-70 和 886）。例如，三進位制數字 0211020_3，導致程式碼 600 全域細胞自動機。

每個用三進製表示的偶數都有偶數個（可能為 0 個）1。這是正確的，因為一個數模 (b-1) 與其 基數-b 數字之和同餘。在 b=3 的情況下，只有一個數字 (1) 不是 b-1 的倍數，所以我們所要做的就是“去除二”，並計算以 3 為基數的表示中 1 的數量。

下表給出了 2^n 對於 n=1, 2, ... 的三進製表示。

2^1=2_3
(1)
2^2=11_3
(2)
2^3=22_3
(3)
2^4=121_3
(4)
2^5=1012_3
(5)
2^6=2101_3
(6)
2^7=11202_3.
(7)

N. J. A. Sloane 推測，對於任何整數 n>15，2^n 的三進位制展開式中總是有一個 0 (Sloane 1973; Vardi 1991, p. 28)。已知 n 的值使得 2^n 缺少 0 的是 1, 2, 3, 4, 15 (OEIS A054635)，在 10^5 以內沒有其他值 (E. W. Weisstein, 2006 年 4 月 8 日)。(2^1)_3, (2^2)_3, ..., 中第一個 0 數字的位置（從最低有效三進位制數字開始計數）是 0, 0, 0, 0, 3, 2, 2, 4, 4, 5, 4, 2, 2, 4, 0, 3, 4, (OEIS A117971)。

類似地，2^n 的三進位制展開式中總是有一個 1，除了 n=1, 1, 3 和 9，在 10^5 以內沒有其他值 (E. W. Weisstein, 2006 年 4 月 8 日)。

Erdős 和 Graham (1980) 推測，對於 n>8，2 的任何冪 2^n 都不是 3 的不同冪的和。這等價於要求對於 n>8，2^n 的三進位制展開式總是包含 2。Vardi (1991) 已經驗證了，唯一沒有 2 的值是 n=2 和 8，上限為 n=2·3^(20)=6.97×10^9。(2^1)_3, (2^2)_3, ..., 中第一個 2 數字的位置（從最低有效三進位制數字開始計數）是 1, 0, 1, 2, 1, 4, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 3, ... (OEIS A117970)。

另請參閱

基數, 二進位制, Champernowne 常數, 十進位制, 十六進位制, 八進位制, 四進位制, 全域細胞自動機

此條目的部分內容由 Vincenzo Origlio 貢獻

使用 探索

參考文獻

Erdős, P. 和 Graham, R. L. 組合數論中的新舊問題與結果。 Geneva, Switzerland: L'Enseignement Mathématique Université de Genève, Vol. 28, 1980.Gardner, M. "三進位制系統。" Ch. 11 in 《來自科學美國人的數學遊戲第六書》。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 104-112, 1984.Knuth, D. E. 計算機程式設計藝術。第 2 卷：半數值演算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 173-175, 1998.Lauwerier, H. 分形：無限重複的幾何圖形。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 10-11, 1991.Sloane, N. J. A. 序列 A054635, A102483, A117970, 和 A117970，出自 "整數序列線上百科全書。"Sloane, N. J. A. "數字的永續性。" J. Recr. Math. 6, 97-98, 1973.Vardi, I. "以三為基數時 2^n 的數字。" Mathematica 中的計算娛樂。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 20-25, 1991.Wolfram, S. 一種新的科學。 Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 60-70 和 886, 2002.

在 中被引用

三進位制

請引用為

Origlio, Vincenzo 和 Weisstein, Eric W. "三進位制。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Ternary.html

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