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Logistic Map--r=-2

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LogisticEquation-2

當 r=-2 時，logistic map 變為

x_(n+1)=-2x_n(1-x_n).
(1)

上方展示了該 map 的前 50 次迭代，初始值為 a_0=0.31 和 0.4。

解可以寫成以下形式

x_n=1/2{1-f[r^nf^(-1)(1-2x_0)]},
(2)

with

f(x)=cos(x/(sqrt(3)))+sqrt(3)sin(x/(sqrt(3)))
(3)
=2cos(1/3(pi-sqrt(3)x))
(4)

以及 f^(-1) 其 反函式 (Wolfram 2002, p. 1098)。 明確地，這給出了公式

x_n=1/2-cos{1/3[pi-(-2)^n(pi-3cos^(-1)(1/2-x_0))]}.
(5)

f(x) 的 麥克勞林級數為

f(x)=sum_(n=0)^(infty)(3^(-n/2))/(n!)[cos(1/2npi)+sqrt(3)sin(1/2pin)]
(6)
=1+x-1/6x^2-1/(18)x^3+1/(216)x^4+1/(1080)x^5-1/(19440)x^6+...
(7)

(OEIS A059944)。

另請參閱

Logistic Map, Logistic Map--r=2, Logistic Map--r=2

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參考文獻

MathPages. “Logistic Map 的閉合形式。” http://www.mathpages.com/home/kmath188.htm.Sloane, N. J. A. “整數序列線上百科全書”中的序列 A059944。Wolfram, S. 一種新科學。 Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1098, 2002.

請引用為

Weisstein, Eric W. “Logistic Map--r=-2。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LogisticMapR=-2.html

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