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魏爾斯特拉斯函式

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WeierstrassFunction

病態函式

f_a(x)=sum_(k=1)^infty(sin(pik^ax))/(pik^a)

(最初為 a=2 定義的) 函式，它 連續 但僅在 可微 測度為零 的點集上 測度為零 。上面的圖顯示了 f_a(x)，分別為 a=2 (紅色), 3 (綠色) 和 4 (藍色)。

該函式由魏爾斯特拉斯發表，但根據克羅內克和魏爾斯特拉斯的講座和著作，黎曼似乎早在 1861 年就聲稱函式 f(x) 在實數域的稠密集合上不可微。 然而，Ullrich (1997) 指出，沒有足夠的證據來確定黎曼是否真的費心為這一說法給出了詳細的證明。du Bois-Reymond (1875) 未經證明地宣告，f 的每個區間都包含 f 不具有有限導數的點，而 Hardy (1916) 證明它在任何無理點和一些有理點上都不具有有限導數。Gerver (1970) 和 Smith (1972) 隨後證明，f 在點集 x=(2A+1)/(2B+1) 處具有有限導數（即 1/2），其中 A 和 B 是整數。Gerver (1971) 然後證明，f 在任何形式為 2A/(2B+1) 或 (2A+1)/(2B) 的點處都不可微。 加上 Hardy 關於 f 在任何無理值處都不可微的結果，這完全解決了 f 的可微性問題。

令人驚訝的是，對於有理數 x=p/q，f(x) 的值可以精確計算為

f(p/q)=pi/(4q^2)sum_(k=1)^(q-1)(sin((k^2ppi)/q))/(sin^2((kpi)/(2q))).

另請參閱

布朗芒格函式, 連續函式, 可微, 實分析怪物, 處處不可微函式

使用 探索

參考文獻

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. 實驗數學行動。 Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Berry, M. V. 和 Lewis, Z. V. "關於魏爾斯特拉斯-曼德勃羅函式。" Proc. Roy. Soc. London Ser. A 370, 459-484, 1980.Chamizo, F. 和 Córdoba, A. "一些分形傅立葉級數的可微性和維數。" Adv. Math. 142, 335-354, 1999.Darboux, G. "關於不連續函式的記憶。" Ann. l'École Normale, Ser. 2 4, 57-112, 1875.Darboux, G. "關於不連續函式的記憶。" Ann. l'École Normale, Ser. 2 8, 195-202, 1879.du Bois-Reymond, P. "嘗試根據任意函式在最小區間內的變化對其進行分類。" J. für Math. 79, 21-37, 1875.Duistermaat, J. J. "'黎曼不可微函式'的自相似性。" Nieuw Arch. Wisk. 9, 303-337, 1991.Esrafilian, E. 和 Shidfar, A. "Cellerier 非可微函式的 Hölder 連續性。" Punjab Univ. J. Math. (Lahore) 28, 118-121, 1995.Faber, G. "一個簡單的處處連續處處不可微函式的例子 [原文如此]" Jahresber. Deutschen Math. Verein. 16, 538-540, 1907.Falconer, K. 分形幾何：數學基礎和應用。 New York: Wiley, 1990.Gerver, J. "黎曼函式在 pi 的某些有理倍數處的可微性。" Amer. J. Math. 92, 33-55, 1970.Gerver, J. "關於黎曼函式的可微性的更多資訊。" Amer. J. Math. 93, 33-41, 1971.Girgensohn, R. "奇異函式的功能方程和處處不可微函式。" Aeq. Math. 46, 243-256, 1993.Gluzman, S. 和 Sornette, D. "通往分形函式的對數週期路徑。" 2001 年 10 月 4 日。 http://arxiv.org/abs/cond-mat/0106316.Hairer, E. 和 Wanner, G. 通過歷史分析。 New York: Springer-Verlag, 1996.Hardy, G. H. "魏爾斯特拉斯的非可微函式。" Trans. Amer. Math. Soc. 17, 301-325, 1916.Havil, J. "魏爾斯特拉斯函式。" §D.2, 附錄 D, 在 伽瑪：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 230-231, 2003.Hu, T. Y. 和 Lau, K.-S. "魏爾斯特拉斯型函式的豪斯多夫維數和奇點。" Trans. Amer. Math. Soc. 335, 649-665, 1993.Hunt, B. R. "魏爾斯特拉斯函式圖的豪斯多夫維數。" Proc. Amer. Math. Soc. 126, 791-800, 1998.Jaffard, S. "黎曼函式的奇點譜。" Rev. Mat. Iberoamericana 12, 441-460, 1996.Kairies, H.-H. "奇異函式的功能方程。" Aeq. Math. 53, 207-241, 1997.Kawamoto, S. 和 Tsubata, T. "具有精確解的混沌對映的魏爾斯特拉斯函式。" J. Phys. Soc. Japan 66, 2209-2210, 1997.Kritikos, H. N. 和 Jaggard, D. L. (編輯). 電磁理論的最新進展。 New York: Springer-Verlag, 1992.Landsberg, G. "關於連續函式的可微性。" Jahresber. Deutschen Math. Verein. 17, 46-51, 1908.Lerch, M. "關於某些函式的不可微性 [原文如此]" J. reine angew. Math. 13, 126-138, 1888.Mandelbrot, B. B. "魏爾斯特拉斯函式和親屬關係。紫外線和紅外線災難。" 大自然的分形幾何。 New York: W. H. Freeman, pp. 388-390, 1983.Metzler, W. "關於生成處處不可微性的混沌對映的註釋。" Math. Semesterber. 40, 87-90, 1993.Pickover, C. A. 通往無限的關鍵。 New York: Wiley, p. 190, 1995.Salzer, H. E. 和 Levine, N. "魏爾斯特拉斯連續非可微函式表。" Math. Comput. 15, 120-130, 1961.Singh, A. N. 非可微函式的理論與構造。 Lucknow: Newul Kishore Press, 1935.Smith, A. "黎曼函式的可微性。" Proc. Amer. Math. Soc. 34, 463-468, 1972.Sun, D. C. 和 Wen, Z. Y. "lacunaires 三角級數圖的 Hausdorff 維度。" C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 310, 135-140, 1990.Sun, D. 和 Wen, Z. "一類魏爾斯特拉斯函式圖的豪斯多夫維數。" Progr. Natur. Sci. (English Ed.) 6, 547-553, 1996.Sun, D. C. 和 Wen, Z. Y. "一類 Lacunary 三角級數的 Hausdorff 維度。" 在 調和分析：1988 年 3 月 1 日至 6 月 30 日在天津舉行的特別計劃會議記錄 (編輯 M.-T. Cheng, X. W. Zhou, 和 D. G. Deng). Berlin: Springer-Verlag, pp. 176-181, 1991.Trott, M. Mathematica 程式設計指南。 New York: Springer-Verlag, p. 36, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Ullrich, P. "關於連續非可微函式的 '黎曼示例' sum_(n=1)^(infty)(sinn^2x)/n^2 的註釋。" Results Math. 31, 245-265, 1997.Volkert, K. "病態函式史——對數學方法論起源的貢獻。" Arch. Hist. Exact Sci. 37, 193-232, 1987.Weierstrass, K. 函式論文集。 Berlin: J. Springer, p. 97, 1886.

在 上被引用

魏爾斯特拉斯函式

引用為

Weisstein, Eric W. “魏爾斯特拉斯函式。” 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/WeierstrassFunction.html

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