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黎曼 Zeta 函式 zeta(2)

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對於

zeta(2)=sum_(k=1)^infty1/(k^2)
(1)

的值可以使用多種不同的方法找到 (Apostol 1983, Choe 1987, Giesy 1972, Holme 1970, Kimble 1987, Knopp and Schur 1918, Kortram 1996, Matsuoka 1961, Papadimitriou 1973, Simmons 1992, Stark 1969, 1970, Yaglom and Yaglom 1987)。

zeta(2) 因此是不定和的定和版本

H_n^((2))=sum_(k=1)^(n)1/(k^2)
(2)
=zeta(2)-psi_1(n+1),
(3)

其中 H_n^((2)) 是廣義調和數（其分子被稱為Wolstenholme 數），psi_n(z) 是多伽瑪函式。

分析地找到這個值的問題有時被稱為巴塞爾問題 (Derbyshire 2004, pp. 63 and 370) 或巴斯勒問題 (Castellanos 1988)。它最初由 Pietro Mengoli 於 1644 年提出 (Derbyshire 2004, p. 370)。解

zeta(2)=(pi^2)/6
(4)

最早由尤拉在 1735 年 (Derbyshire 2004, p. 64) 或 1736 年 (Srivastava 2000) 發現。

Yaglom 和 Yaglom (1987)、Holme (1970) 和 Papadimitriou (1973) 都從棣莫弗恆等式或相關恆等式推匯出結果 pi^2/6。

zeta(2) 由級數給出

zeta(2)=3sum_(k=1)^infty1/(k^2(2k; k)).
(5)

(Knopp 1990, pp. 266-267)，可能為尤拉所知，並由 Apéry 重新發現。

Bailey (2000) 和 Borwein 及 Bailey (2003, pp. 128-129) 給出了BBP 型公式的集合，其中包括 zeta(2) 的一些公式，

zeta(2)=(27)/4sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)[(16)/((6k+1)^2)-(24)/((6k+2)^2)-8/((6k+3)^2)-6/((6k+4)^2)+1/((6k+5)^2)]
(6)
=4/9sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)[(243)/((12k+1)^2)-(405)/((12k+2)^2)-(81)/((12k+4)^4)-(27)/((12k+5)^2)-(72)/((12k+6)^2)-9/((12k+7)^2)-9/((12k+8)^2)-5/((12k+10)^2)+1/((12k+11)^2)].
(7)

zeta(2) 由雙重級數給出

zeta(2)=sum_(i=1)^inftysum_(j=1)^infty((i-1)!(j-1)!)/((i+j)!)
(8)

(B. Cloitre，私人通訊，2004 年 12 月 9 日)。

對於 zeta(2) 的一種推導考慮了 f(x)=x^(2n) 的傅立葉級數

f(x)=1/2a_0+sum_(m=1)^inftya_mcos(mx)+sum_(m=1)^inftyb_msin(mx),
(9)

其係數由下式給出

a_0=(2pi^(2n))/(2n+1)
(10)
a_m=(2pi^(2n))/(2n+1)_1F_2(n+1/2;1/2,n+3/2;-1/4mpi^2)
(11)
b_m=0,
(12)

其中 _1F_2(a;b,c;z) 是廣義超幾何函式，並且 (12) 成立，因為被積函式是奇函式。因此，傅立葉級數由下式顯式給出

x^(2n)=(pi^(2n))/(2n+1)+sum_(m=1)^inftya_mcos(mx).
(13)

如果 n=1，則

a_m=(4(-1)^m)/(m^2),
(14)

因此傅立葉級數是

x^2=(pi^2)/3+4sum_(m=1)^infty((-1)^mcos(mx))/(m^2).
(15)

令 x=pi 得到 cos(mpi)=(-1)^m，因此

pi^2=(pi^2)/3+4sum_(m=1)^infty1/(m^2),
(16)

我們有

zeta(2)=sum_(m=1)^infty1/(m^2)=(pi^2)/6.
(17)

更高階的 n 可以透過找到 a_m 並如上所述繼續進行獲得。

也可以簡單地使用根線性係數定理找到值 zeta(2)。考慮方程 sinz=0 並在麥克勞林級數中展開 sin

sinz=z-(z^3)/(3!)+(z^5)/(5!)+...=0
(18)
0=1-(z^2)/(3!)+(z^4)/(5!)+...
(19)
=1-w/(3!)+(w^2)/(5!)+...,
(20)

其中 w=z^2。但是 sinz 的零點出現在 z=pi、2pi、3pi、...，或者 w=pi^2、(2pi)^2、...。因此，根的和等於前導項的係數

1/(pi^2)+1/((2pi)^2)+1/((3pi)^2)+...=1/(3!)=1/6,
(21)

可以重新排列得到

zeta(2)=(pi^2)/6.
(22)

另一種推導 (Simmons 1992) 使用 Beukers 的 (1979) 積分評估 zeta(2)

I=int_0^1int_0^1(dxdy)/(1-xy)
(23)
=int_0^1int_0^1(1+xy+x^2y^2+...)dxdy
(24)
=int_0^1[(x+1/2x^2y+1/3x^3y^2+...)]_0^1dy
(25)
=int_0^1(1+1/2y+1/3y^2+...)dy
(26)
=[y+(y^2)/(2^2)+(y^3)/(3^2)+...]_0^1
(27)
=1+1/(2^2)+1/(3^2)+...
(28)
=zeta(2).
(29)

為了評估積分，將座標系旋轉 pi/4，因此

x=ucostheta-vsintheta=1/2sqrt(2)(u-v)
(30)
y=usintheta+vcostheta=1/2sqrt(2)(u+v)
(31)

並且

xy=1/2(u^2-v^2)
(32)
1-xy=1/2(2-u^2+v^2).
(33)

然後

I=4int_0^(sqrt(2)/2)int_0^u(dudv)/(2-u^2+v^2)+4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))int_0^(sqrt(2)-u)(dudv)/(2-u^2+v^2)
(34)
=I_1+I_2.
(35)

現在計算積分 I_1 和 I_2。

I_1=4int_0^(sqrt(2)/2)[int_0^u(dv)/(2-u^2+v^2)]du
(36)
=4int_0^(sqrt(2)/2)[1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)(v/(sqrt(2-u^2)))]_0^udu
(37)
=4int_0^(sqrt(2)/2)1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)(u/(sqrt(2-u^2)))du.
(38)

進行替換

u=sqrt(2)sintheta
(39)
sqrt(2-u^2)=sqrt(2)costheta
(40)
du=sqrt(2)costhetadtheta,
(41)

因此

tan^(-1)(u/(sqrt(2-u^2)))=tan^(-1)((sqrt(2)sintheta)/(sqrt(2)costheta))=theta
(42)

並且

I_1=4int_0^(pi/6)1/(sqrt(2)costheta)thetasqrt(2)costhetadtheta=(pi^2)/(18).
(43)

I_2 也可以進行解析計算，

I_2=4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))[int_0^(sqrt(2)-u)(dv)/(2-u^2+v^2)]du
(44)
=4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))[1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)(v/(sqrt(2-u^2)))]_0^(sqrt(2)-u)du
(45)
=4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)((sqrt(2)-u)/(sqrt(2-u^2)))du.
(46)

但是

tan^(-1)((sqrt(2)-u)/(sqrt(2-u^2)))=tan^(-1)((sqrt(2)-sqrt(2)sintheta)/(sqrt(2)costheta))
(47)
=tan((1-sintheta)/(costheta))=tan^(-1)((costheta)/(1+sintheta))
(48)
=tan^(-1)[(sin(1/2pi-theta))/(1+cos(1/2pi-theta))]
(49)
=tan^(-1){(2sin[1/2(1/2pi-theta)]cos[1/2(1/2pi-theta)])/(2cos^2[1/2(1/2pi-theta)])}
(50)
=1/2(1/2pi-theta),
(51)

因此

I_2=4int_(pi/6)^(pi/2)1/(sqrt(2)costheta)(1/4pi-1/2theta)sqrt(2)costhetadtheta
(52)
=4[1/4pitheta-1/4theta^2]_(pi/6)^(pi/2)
(53)
=4[((pi^2)/8-(pi^2)/(16))-((pi^2)/(24)-(pi^2)/(144))]=(pi^2)/9.
(54)

結合 I_1 和 I_2 得到

zeta(2)=I_1+I_2=(pi^2)/(18)+(pi^2)/9=(pi^2)/6.
(55)

另請參閱

Apéry 常數, Hadjicostas 公式, 黎曼 Zeta 函式

使用 探索

參考文獻

Apostol, T. M. "尤拉錯過的證明：輕鬆評估 zeta(2)。" Math. Intel. 5, 59-60, 1983.Bailey, D. H. "數學常數的 BBP 型公式概要。" 2000 年 11 月 28 日。 http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf.Beukers, F. "關於 zeta(2) 和 zeta(3) 的非理性證明。" Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.Castellanos, D. "無處不在的 Pi。第一部分。" Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Choe, B. R. "sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)=(pi^2)/6 的初等證明。" Amer. Math. Monthly 94, 662-663, 1987.Derbyshire, J. 素數迷戀：伯恩哈德·黎曼與數學中最偉大的未解問題。 New York: Penguin, 2004.Giesy, D. P. "又一個 sum1/k^2=pi^2/6 的證明。" Math. Mag. 45, 148-149, 1972.Havil, J. 伽瑪：探索尤拉常數。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 37-40, 2003.Holme, F. "Ein enkel beregning av sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)。" Nordisk Mat. Tidskr. 18, 91-92 和 120, 1970.Kimble, G. "尤拉的另一個證明。" Math. Mag. 60, 282, 1987.Knopp, K. 無窮級數的理論與應用。 New York: Dover, 1990.Knopp, K. 和 Schur, I. "關於方程 sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)=(pi^2)/6 的推導。" Archiv der Mathematik u. Physik 27, 174-176, 1918.Kortram, R. A. "sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 和 sinx=xproduct_(k=1)^(infty)(1-(x^2)/(k^2pi^2)) 的簡單證明。" Math. Mag. 69, 122-125, 1996.Matsuoka, Y. "sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 的初等證明。" Amer. Math. Monthly 68, 486-487, 1961.Papadimitriou, I. "sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 的簡單證明。" Amer. Math. Monthly 80, 424-425, 1973.Simmons, G. F. "透過雙重積分求尤拉公式 sum_1^(infty)1/n^2=pi^2/6。" Ch. B. 24 in 微積分寶石：簡短的人生和難忘的數學。 New York: McGraw-Hill, 1992.Spiess, O. "Die Summe der reziproken Quadratzahlen." In Festschrift zum 60 Geburtstag von Dr. Andreas Speiser (Ed. L. V. Ahlfors et al. ). Zürich: Füssli, pp. 66-86, 1945.Srivastava, H. M. "正整數引數下黎曼 Zeta 函式的評估和表示的一些簡單演算法。" J. Math. Anal. Appl. 246, 331-351, 2000.Stark, E. L. "公式 sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 的另一個證明。" Amer. Math. Monthly 76, 552-553, 1969.Stark, E. L. "1-1/4+1/9-1/(16)+...=(pi^2)/(12)。" Praxis Math. 12, 1-3, 1970.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的數字詞典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.Yaglom, A. M. 和 Yaglom, I. M. 問題 145 in 帶初等解的挑戰性數學問題，第 2 卷。 New York: Dover, 1987.

在 中引用

黎曼 Zeta 函式 zeta(2)

引用為

Weisstein, Eric W. "黎曼 Zeta 函式 zeta(2)。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/RiemannZetaFunctionZeta2.html

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