連續統假設

最初由格奧爾格·康托爾提出的命題，即在“小的”無限整數集合 和“大的”無限實數集合 （“連續統”）之間，不存在具有基數的無限集合。 符號上，連續統假設是 。 希爾伯特問題的第 1a 個問題詢問連續統假設是否為真。

哥德爾表明，如果將連續統假設新增到傳統的 策梅洛-弗蘭克爾集合論 中，則不會出現矛盾。 然而，保羅·科恩（Paul Cohen）（1963 年，1964 年）使用一種稱為力迫法的技術證明，如果將連續統假設的否定新增到集合論中，也不會出現矛盾。 哥德爾和科恩的結果共同確立了連續統假設的有效性取決於所使用的集合論版本，因此是不可判定的（假設策梅洛-弗蘭克爾公理以及選擇公理）。

康威和蓋伊（Conway and Guy）（1996 年，第 282 頁）敘述了連續統假設的廣義版本，最初由豪斯多夫在 1908 年提出，它也是不可判定的：對於每個 ， 是否成立？ 連續統假設從廣義連續統假設中得出，因此 。

伍丁（Woodin）（2001ab, 2002）提出了一個新的合理的“公理”，該公理的採用（除了策梅洛-弗蘭克爾公理和選擇公理之外）將意味著連續統假設為假。 鑑於集合論學家們一段時間以來一直認為連續統假設應該是錯誤的，如果伍丁的公理被證明特別優雅、有用或直觀，它可能會流行起來。 將此與 300 多年前歐幾里得平行公設的情況進行比較很有意思，當時沃利斯提出了一個額外的公理，該公理將暗示平行公設（格林伯格 1994，第 152-153 頁）。