策梅洛-弗蘭克爾公理

策梅洛-弗蘭克爾公理是策梅洛-弗蘭克爾集合論的基礎。在下文中（Jech 1997, p. 1）， 代表 存在， 意味著 對於所有， 代表 “是...的元素”， 代表 空集， 代表 蘊含， 代表 與， 代表 或，以及 代表 “等價於”。

1. 外延公理：如果 和 具有相同的元素，那麼 。

(1)

2. 無序對公理：對於任意 和 ，存在一個集合 ，它恰好包含 和 。（也稱為配對公理）

(2)

3. 子集公理：如果 是一個性質（帶有引數 ），那麼對於任意 和 ，存在一個集合 ，它包含所有 X 中具有性質 的 。（也稱為分離公理或概括公理）

(3)

4. 並集公理：對於任意 ，存在一個集合 ，即 X 所有元素的並集。（也稱為聯合公理）

(4)

5. 冪集公理：對於任意 ，存在一個集合 ，即 X 所有子集的集合。

(5)

6. 無窮公理：存在一個無限集合。

(6)

7. 替換公理：如果 是一個函式，那麼對於任意 ，存在一個集合 。

(7)

8. 正則公理：每個非空集合都有一個 -極小元素。（也稱為基礎公理）

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9. 選擇公理：每個非空集合族都有一個選擇函式。

(9)

公理 1-8 的系統稱為策梅洛-弗蘭克爾集合論，記為 “ZF”。公理 1-8 的系統減去替換公理（即公理 1-6 加 8）稱為策梅洛集合論，記為 “Z”。包含選擇公理的公理 1-9 的集合通常記為 “ZFC”。

不幸的是，關於哪些公理構成 “策梅洛集合論”，文獻中似乎存在一些分歧。Mendelson (1997) 在策梅洛集合論中不包括選擇公理或正則公理，但包括替換公理。Enderton (1977) 包括選擇公理和正則公理，但不包括替換公理。Itô 包括一個空集公理，它可以從 (6) 和 (3) 中得到，透過 和 。

Abian (1969) 證明了策梅洛-弗蘭克爾公理中四個公理的相容性和獨立性。