基礎公理也可以表述為“一個集合不包含無限遞降（隸屬關係）序列”，或“一個集合包含一個（隸屬關係）最小元素”，即，集合中存在一個元素，該元素與該集合不共享任何成員（Ciesielski 1997, p. 37; Moore 1982, p. 269; Rubin 1967, p. 81; Suppes 1972, p. 53）。
Mendelson（1958）證明，這兩個陳述的等價性必然依賴於選擇公理。對偶表示式稱為 -歸納法，並且與公理本身等價（Itô 1986, p. 147）。
Ciesielski, K. Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1997.Dauben, J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990.Itô, K. (Ed.). "Zermelo-Fraenkel Set Theory." §33B in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 1. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 146-148, 1986.Mendelson, E. "The Axiom of Fundierung and the Axiom of Choice." Archiv für math. Logik und Grundlagenfors.4, 67-70, 1958.Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. London: Chapman & Hall, 1997.Mirimanoff, D. "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles." Enseign. math.19, 37-52, 1917.Moore, G. H. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origin, Development, and Influence. New York: Springer-Verlag, 1982.Neumann, J. von. "Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre." J. reine angew. Math.160, 227-241, 1929.Neumann, J. von. "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre." J. reine angew. Math.154, 219-240, 1925.Rubin, J. E. Set Theory for the Mathematician. New York: Holden-Day, 1967.Suppes, P. Axiomatic Set Theory. New York: Dover, 1972.Zermelo, E. "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche." Fund. Math.16, 29-47, 1930.
表示 蘊含， 
表示 存在， 
表示 與， 
表示 交集，並且 
是 空集 （Mendelson 1997, p. 288）。更具描述性地，“每個非空集合都與其某個元素不相交。”
-歸納法，並且與公理本身等價（Itô 1986, p. 147）。