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柯西函式方程

柯西函式方程是以下方程

f(x+y)=f(x)+f(y).

柯西在 1821 年證明了，從 R 到 R 的此函式方程的唯一連續解是 f(x)=kx 的形式，其中 k 是某個實數。1875 年，達布 (Darboux) 證明了連續性假設可以被單點連續性所取代；五年後，他又證明了假設 f(x) 對於足夠小的正數 x 是非負（或非正）的就足夠了。

1905 年，G. 哈梅爾 (Hamel) 證明了柯西函式方程存在非連續解，使用了 哈梅爾基。每個非連續解必然關於 勒貝格測度 是不可測的。

希爾伯特問題 的第五個問題是這個方程的推廣。

參見

阿貝爾函式方程, 函式方程, 希爾伯特問題

此條目的部分內容由 José Carlos Santos 貢獻。

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參考文獻

Aczél, J. Lectures on Functional Equations and Their Applications. New York: Academic Press, 1966.Broggi, U. "Sur un théorème de M. Hamel." Enseignement Math. 9, 385-387, 1907.Cauchy, A. L. Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique. Chez Debure frères, 1821.Darboux, G. "Sur la composition des forces en statique." Bull. Sci. Math. 9, 281-299, 1875.Darboux, G. "Sur le théorème fondamental de la Géométrie projective." Math. Ann. 17, 55-61, 1880.Hamel, G. "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)." Math. Ann. 60, 459-462, 1905.

在 上被引用

柯西函式方程

引用為

Santos, José Carlos 和 Weisstein, Eric W. “柯西函式方程。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CauchyFunctionalEquation.html

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