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Plouffe 常數

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Plouffe 常數是在與 r_n=f(2^n) 相關的級數求和中出現的數字，其中 f 是一個三角函式。 定義 Iverson 括號函式

rho(x)={1 for x<0; 0 for x>=0.
(1)
PlouffesConstantA

現在透過以下方式定義 a_i

a_n=sin(2^n)
(2)
={sin1 for n=0; 2a_0sqrt(1-a_0^2) for n=1; 2a_(n-1)(1-2a_(n-2)^2) for n>=2,
(3)

那麼

A=sum_(n=0)^(infty)(rho(a_n))/(2^(n+1))
(4)
=1/(2pi)
(5)
=0.15915...
(6)

(OEIS A086201)。

PlouffesConstantB

對於

b_n=cos(2^n)
(7)
={cos1 for n=0; 2b_(n-1)^2-1 for n>=1,
(8)

這個和（令人驚訝地）由下式給出

B=sum_(n=0)^(infty)(rho(b_n))/(2^(n+1))
(9)
=1/pi direct sum 1/(2pi)
(10)
=0.4756260767...
(11)

(OEIS A086202)，其中 direct sum 表示二進位制數字的異或 (Chowdhury 2001a; Finch 2003, p. 432)。 一個相關的和由下式給出

B^'=sum_(n=0)^(infty)(rho(b_nb_(n-1)))/(2^(n+1))
(12)
=1/pi direct sum 1/(4pi)
(13)
=0.27007972...
(14)

(OEIS A111953)，其中 direct sum 再次表示二進位制數字的異或 (Chowdhury 2001b; Finch 2005, p. 20)。

PlouffesConstantC

令

c_n=tan(2^n)
(15)
={tan1 for n=0; (2c_(n-1))/(1-c_(n-1)^2) for n>=1,
(16)

那麼

C=sum_(n=0)^(infty)(rho(c_n))/(2^(n+1))
(17)
=1/pi
(18)

(OEIS A049541)。

Plouffe 詢問上述過程是否可以“反轉”。 他考慮了

alpha_n=sin(2^nsin^(-1)1/2)
(19)
={1/2 for n=0; 1/2sqrt(3) for n=1; 2alpha_(n-1)(1-2alpha_(n-2)^2) for n>=2,
(20)

給出

A=sum_(n=0)^(infty)(rho(alpha_n))/(2^(n+1))
(21)
=1/(12),
(22)

和

beta_n=cos(2^ncos^(-1)1/2)
(23)
={1/2 for n=0; 2beta_(n-1)^2-1 for n>=1,
(24)

給出

B=sum_(n=0)^(infty)(rho(beta_n))/(2^(n+1))
(25)
=1/2,
(26)

和

gamma_n=tan(2^ntan^(-1)1/2)
(27)
={1/2 for n=0; (2gamma_(n-1))/(1-gamma_(n-1)^2) for n>=1,
(28)

給出

C=sum_(n=0)^(infty)(rho(gamma_n))/(2^(n+1))
(29)
=1/pitan^(-1)(1/2)
(30)
=0.1475836...
(31)

(OEIS A086203)，其中這個恆等式由 Plouffe 猜想，並由 Borwein 和 Girgensohn (1995) 證明。

C 有時被稱為 Plouffe 常數 (Plouffe 1997)，儘管這個角度至少可以追溯到古希臘時期（Smith 2003）的二十面體幾何學中。

Plouffe 常數是超越數，所有形如 (tan^(-1)x)/pi 的數也是超越數，其中 x 是有理數且 x!=0,+/-1 (Smith 2003, Margolius)。

這個常數的二進位制展開中 1 的位置是 3, 6, 8, 9, 10, 13, 21, 23, ... (OEIS A004715)。

請注意，這種二進位制展開背後的基本思想早已被稱為用於計算反三角函式的“CORDIC”演算法 (Volder 1959)，據稱阿基米德就已知道，並且一直是眾多論文 (Walther 1971) 的主題，並在許多商業電子計算器（如 HP-35 (Smith 2003)）中實現。

Borwein 和 Girgensohn (1995) 將 Plouffe 的 gamma_n 擴充套件到任意實數 x，表明如果

xi_n=tan(2^ntan^(-1)x)={x for n=0; (2xi_(n-1))/(1-xi_(n-1)^2) for n>=1 and |xi_(n-1)|!=1; -infty for n>=1 and |xi_(n-1)|=1,
(32)

那麼

sum_(n=0)^infty(rho(xi_n))/(2^(n+1))={(tan^(-1)x)/pi for x>=0; 1+(tan^(-1)x)/pi for x<0.
(33)

Borwein 和 Girgensohn (1995) 也給出了更一般的遞迴關係和公式。

使用 探索

參考文獻

Borwein, J. M. 和 Girgensohn, R. "加法定理和二進位制展開。" Canad. J. Math. 47, 262-273, 1995.Chowdhury, M. "0.4756260767... 的公式。" 未發表的筆記, 2001a.Chowdhury, M. "關於混沌 Logistic 函式 t_(n+1)=4t_n(1-t_n) 的迭代。" 未發表的筆記, 2001b.Finch, S. R. "Plouffe 常數。" §6.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 430-433, 2003.Finch, S. R. "《數學常數》的勘誤和補遺。" 2005 年 8 月 11 日。 http://algo.inria.fr/csolve/erradd.pdf.Margolius, B. H. "Plouffe 常數是超越數。" http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/plouffe.pdf.Plouffe, S. "使用直尺和圓規計算某些數字。" J. Integer Sequences 1, No. 98.1.3, 1998. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL1/compass.Sloane, N. J. A. "整數數列線上百科全書" 中的數列 A004715, A049541, A086201, A086202, A086203, 和 A111953。Smith, W. D. "勾股三元組、有理角和空間填充單形。" 2003. http://math.temple.edu/~wds/homepage/diophant.pdf.Volder, J. "CORDIC 三角計算技術。" IRE Trans. Elec. Comput. EC-8, 330-334, 1959.Walther, J. S. "初等函式的統一演算法。" In Spring Joint Computer Conference. pp. 379-385, 1971.

在 中被引用

Plouffe 常數

請按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “Plouffe 常數。” 來自 — 資源。 https://mathworld.tw/PlouffesConstants.html

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