幾何作圖

在古代，圖形和長度的幾何作圖被限制為僅使用直尺和圓規（或者在柏拉圖的情況下，僅使用圓規；這種技術現在被稱為馬歇羅尼作圖）。雖然有時使用“尺子”代替“直尺”，但希臘的規定禁止使用可以進行測量的標記。此外，“圓規”甚至不能透過設定距離然後“走”動來標記距離，因此圓規必須被認為在不繪製圓的過程中會自動塌陷。

由於希臘幾何作圖在歐幾里得的幾何原本中佔據突出地位，這些作圖有時也被稱為歐幾里得作圖。這種作圖是古代幾何問題的核心，例如化圓為方、倍立方和三等分角。希臘人無法解決這些問題，但直到數百年後，這些問題才被證明在施加的限制下實際上是不可能的。1796年，高斯證明了可作圖正多邊形的邊數必須具有涉及費馬素數的特定形式，對應於所謂的三角學角。

雖然歐幾里得給出了正三角形、正方形、正五邊形及其衍生圖形的作圖方法，但基於費馬素數 的作圖方法對古代人來說是未知的。大約在1800年，Erchinger 給出了第一個明確的正十七邊形（17 邊形）的作圖方法。Richelot 和 Schwendenwein 在 1832 年找到了正二百五十七邊形（257 邊形）的作圖方法，而 Hermes 花費了 10 年時間在 1900 年左右在哥廷根完成了正六萬五千五百三十七邊形（65537 邊形）的作圖（Coxeter 1969）。等邊三角形和正方形的作圖是簡單的（下圖頂部）。正五邊形和正十七邊形的優雅作圖歸功於 Richmond (1893)（下圖底部）。

給定一個點，可以構造任意所需半徑的圓，並繪製穿過中心的直徑。將中心稱為 ，直徑的右端點稱為 。可以透過找到垂直平分線來構造原始直徑的垂線。將此垂線直徑的上端點稱為 。對於正五邊形，找到 的中點並將其稱為 。繪製 ，並平分 ，將與 的交點稱為 。繪製與 平行的 ，正五邊形的前兩個點是 和 。正十七邊形的作圖更為複雜，但可以透過 17 個相對簡單的步驟完成。作圖問題現在已經自動化了（Bishop 1978）。

簡單的代數運算，例如 、、 (對於 一個有理數)、、 和 可以使用幾何作圖來執行（Bold 1982，Courant 和 Robbins 1996）。其他更復雜的作圖，例如阿波羅尼斯問題的解和反演點的作圖也可以完成。

最簡單的幾何作圖之一是線段的平分線的作圖，如上圖所示。

希臘人非常擅長作圖多邊形，但高斯的才華才得以從數學上確定哪些作圖是可能的，哪些是不可能的。因此，高斯確定了一系列多邊形（其中最小的具有 17 條邊；正十七邊形）具有希臘人未知的作圖方法。高斯表明，可作圖多邊形（其中幾個如上圖所示）與稱為費馬素數的數字密切相關。

Wernick (1982) 給出了 139 組三個已定位的點，從中可以作圖一個三角形。在 Wernick 最初的 139 個問題列表中，截至 1996 年，仍有 20 個問題尚未解決（Meyers 1996）。

可以使用直尺和圓規作圖有理數和歐幾里得數。一般來說，可以使用圓規和直尺作圖的數字術語是可作圖數。一些無理數，但沒有超越數可以被作圖出來。

事實證明，所有用圓規和直尺可以完成的作圖都可以單獨用圓規完成，只要當線的兩個端點被定位時，該線就被認為是作圖出來的。反之亦然，因為 Jacob Steiner 表明，所有用直尺和圓規可以完成的作圖都可以僅使用直尺完成，只要事先繪製了一個固定的圓及其中心（或兩個相交的圓，而沒有它們的中心，或三個不相交的圓）。這種作圖被稱為斯坦納作圖。

作圖術是對幾何作圖簡易程度的定量度量。它將幾何作圖簡化為五種型別的操作，併力求減少實現幾何作圖所需的總運算元（稱為“簡易性”）。

Dixon（1991 年，第 34-51 頁）給出了一些無法嚴格作圖的圖形（正七邊形和正九邊形）和長度（pi）的近似作圖。Ramanujan (1913-1914) 和 Olds (1963) 給出了 的幾何作圖。Gardner（1966 年，第 92-93 頁）給出了

Kochanski 的 的近似作圖產生了Kochanski 近似值

Steinhaus（1999 年，第 143 頁）。 的作圖是化圓為方的近似（但不精確）形式。