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十七邊形

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Heptadecagon

17 邊的正多邊形被稱為十七邊形，或有時稱為十七角形。高斯在 1796 年（當時他 19 歲）證明了十七邊形可以用圓規和直尺作出。高斯的證明出現在他的鉅著《算術研究》中。該證明依賴於不可約多項式方程的性質，即由有限次平方根開方組成的根僅在方程的階數為形式 2^aF_aF_b...F_s 的乘積時才存在，其中 F_n 是不同的素數，形式為

F_n=2^(2^n)+1,
(1)

被稱為費馬素數。對於正三角形 (3^1)、正方形 (2^2)、正五邊形 (2^(2^1)+1)、正六邊形 (2^13^1) 等的作圖法，歐幾里得已經給出，但是基於費馬素數 >=17 的作圖法是古代人所未知的。十七邊形的第一個顯式作圖法是由 Erchinger 在大約 1800 年給出的。

三角函式 cos(pi/17) 和 cos(2pi/17) 都是 8 次代數數，分別由下式給出

cos(pi/(17))=(256x^8-128x^7-448x^6+192x^5+240x^4-80x^3-40x^2+8x+1)_8
(2)
cos((2pi)/(17))=(256x^8+128x^7-448x^6-192x^5+240x^4+80x^3-40x^2-8x+1)_8.
(3)

單位邊長的十七邊形的內切圓半徑和外接圓半徑由下式給出

r=1/2cot(pi/(17))
(4)
R=1/2csc(pi/(17)),
(5)

兩者都可以用有限次開方來表示。它們也可以表示為代數方程的最大根

1-544r^2+38080r^4-792064r^6+6223360r^8-19914752r^(10)+25346048r^(12)-11141120r^(14)+1114112r^(16)
(6)
1-17R^2+119R^4-442R^6+935R^8-1122R^(10)+714R^(12)-204R^(14)+17R^(16).
(7)

正十七邊形的面積由下式給出

A=(17)/4cot(pi/(17)),
(8)

其中 A 可以表示為以下代數方程的最大根

2862423051509815793-21552361799603318912A^2+20881180982314634240A^4-6011468019822067712A^6+653743432704327680A^8-28954726431195136A^(10)+510054948143104A^(12)-3103113871360A^(14)+4294967296A^(16).
(9)
17-gonConstruction

以下為十七邊形的優雅作圖法（Yates 1949，Coxeter 1969，Stewart 1977，Wells 1991），最早由 Richmond (1893) 給出。

1. 給定任意點 O，畫一個以 O 為圓心的圓，並畫一條穿過 O 的直徑。

2. 將圓分成半圓的直徑的右端點稱為 P_1。

3. 透過找到垂直平分線 OB 作出與原始直徑垂直的直徑。

4. 作出 J，使其位於 OB 的四分之一處。

5. 連線 JP_1 並找到 E，使得 ∠OJE 是 ∠OJP_1 的四分之一。

6. 找到 F，使得 ∠EJF 為 45 degrees。

7. 作出以 FP_1 為直徑的半圓。

8. 此半圓與 OB 相交於 K。

9. 畫一個以 E 為圓心，EK 為半徑的半圓。

10. 這與線段 OP_1 相交於 N_4。

11. 作一條穿過 N_4 且與 OP_1 垂直的直線。

12. 這條直線與原始半圓相交於 P_4。

13. 現在你有了十七邊形的點 P_1 和 P_4。

14. 使用 P_1 和 P_4 透過構造 P_1, P_4, P_7, P_(10), P_(13), P_(16) [實心圓], P_2, P_5, P_8, P_(11), P_(14), P_(17) [單環實心圓], P_3, P_6, P_9, P_(12), 和 P_(15) [雙環實心圓] 來獲得原始圓周圍的十七邊形的其餘 15 個點。

15. 連線相鄰點 P_i，其中 i=1 到 17，形成十七邊形。

當適當簡化時，此作圖法的簡易度為 53。Smith (1920) 的作圖法具有更高的簡易度 58。Tietze (1965) 提出並在 Hall (1970) 中轉載的另一種作圖法的簡易度為 50。然而，Tietze (1965) 和 Hall (1970) 都沒有提供證明此作圖法正確的證據。Richmond 和 Tietze 的作圖法都需要大量的計算來證明其有效性。DeTemple (1991) 給出了一個涉及卡萊爾圓的優雅作圖法，其幾何作圖法符號為 8S_1+4S_2+22C_1+11C_3，簡易度為 45。作圖問題現在已經在某種程度上實現了自動化（Bishop 1978）。

參見

257 邊形, 65537 邊形, 圓規, 可作圖多邊形, 費馬數, 費馬素數, 正多邊形, 直尺, 三角學角, 三角學角--pi/17

用 探索

參考文獻

Archibald, R. C. "The History of the Construction of the Regular Polygon of Seventeen Sides." Bull. Amer. Math. Soc. 22, 239-246, 1916.Archibald, R. C. "Gauss and the Regular Polygon of Seventeen Sides." Amer. Math. Monthly 27, 323-326, 1920.Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 95-96, 1987.Bishop, W. "How to Construct a Regular Polygon." Amer. Math. Monthly 85, 186-188, 1978.Bold, B. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. New York: Dover, pp. 63-69, 1982.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 201 和 229-230, 1996.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 26-28, 1969.DeTemple, D. W. "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions." Amer. Math. Monthly 98, 97-108, 1991.Dickson, L. E. "Construction of the Regular Polygon of 17 Sides." §8.20 in Monographs on Topics of Modern Mathematics Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 372-373, 1955.Dixon, R. "Gauss Extends Euclid." §1.4 in Mathographics. New York: Dover, pp. 52-54, 1991.Dummit, D. S. 和 Foote, R. M. Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1998.Gauss, C. F. §365 和 366 in Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, Germany: Fleischer, 1801. Reprinted in New Haven, CT: Yale University Press, 1965.Hall, T. Carl Friedrich Gauss: A Biography. Cambridge, MA: MIT Press, 1970.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "Construction of the Regular Polygon of 17 Sides." §5.8 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 57-62, 1979.Klein, F. Famous Problems of Elementary Geometry and Other Monographs. New York: Chelsea, 1956.Ore, Ø. Number Theory and Its History. New York: Dover, 1988.Rademacher, H. Lectures on Elementary Number Theory. New York: Blaisdell, 1964.Richmond, H. W. "A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides." Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893.Smith, L. L. "A Construction of the Regular Polygon of Seventeen Sides." Amer. Math. Monthly 27, 322-323, 1920.Stewart, I. "Gauss." Sci. Amer. 237, 122-131, 1977.Tietze, H. Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. New York: Graylock Press, 1965.Trott, M. "cos(2pi/257) à la Gauss." Mathematica Educ. Res. 4, 31-36, 1995.Trott, M. "cos(2pi/257) à la Gauss." §1.10.2 in The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: Springer-Verlag, pp. 312-321, 2006. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Vélez, P. 和 Luis, O. "A Chord Approach for an Alternative Ruler and Compasses Construction of the 17-Side Regular Polygon." Geom. Dedicata 52, 209-213, 1994.更新連結Wang, P. "The Regular Heptadecagon." http://www.ugcs.caltech.edu/~peterw/studies/17gon/Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin, pp. 212-213, 1991.Yates, R. C. Geometrical Tools: A Mathematical Sketch and Model Book. St. Louis, MO: Educational Publishers, 1949.

在 中被引用

十七邊形

請引用為

Weisstein, Eric W. "十七邊形。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Heptadecagon.html

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